Лулу сглаживание
В сигналов обработке Лулу сглаживание представляет собой нелинейный математический метод удаления импульсного шума из последовательности данных, например временного ряда . Это нелинейный эквивалент использования скользящего среднего (или другого метода сглаживания) временного ряда и аналогичен другим методам нелинейного сглаживания , таким как метод Тьюки или медианное сглаживание . [1]
Сглаживатели LULU подробно сравнивались с медианными сглаживателями Янковицем и оказались превосходящими их в некоторых аспектах, особенно в математических свойствах, таких как идемпотентность . [2]
Характеристики
[ редактировать ]Операторы Лулу обладают рядом привлекательных математических свойств, среди которых идемпотентность (означающая, что повторное применение оператора дает тот же результат, что и однократное применение), и коидемпотентность. Интерпретация идемпотентности такова: «Идемпотентность означает, что в сглаженных данных не осталось «шума», а коидемпотентность означает, что в остатке не осталось «сигнала». [3]
При изучении сглаживателей есть четыре свойства, которые полезно оптимизировать: [4]
- Эффективность
- Последовательность
- Стабильность
- Эффективность
Операторы также можно использовать для разложения сигнала на различные подкомпоненты, аналогично вейвлет-разложению или разложению Фурье. [5]
История
[ редактировать ]Сглаживатели Lulu были открыты CH Rohwer и изучались в течение последних 30 лет. [6] [7] Получены их точные и асимптотические распределения. [3]
Операция
[ редактировать ]Применение сглаживателя Лулу состоит из повторных применений операторов min и max на заданном подинтервале данных.Как и в случае с другими сглаживателями, необходимо указать ширину или интервал. Сглаживатели Lulu состоят из повторяющихся применений операторов L (нижний) и U (верхний), которые определяются следующим образом:
Л-оператор
[ редактировать ]Для оператора L ширины n над бесконечной последовательностью x s (..., x j , x j +1 ,...) операция над x j вычисляется следующим образом:
- Сначала мы создаем ( n + 1) мини-последовательностей длиной ( n + 1) каждая. Каждая из этих мини-последовательностей содержит элемент x j . Например, для ширины 1 мы создаём 2 мини-последовательности длиной 2 каждая. Для ширины 1 этими мини-последовательностями являются ( x j −1 , x j ) и ( x j , x j +1 ). Для ширины 2 мини-последовательности: ( x j −2 , x j −1 , x j ), ( x j −1 , x j , x j +1 ) и ( x j , x j +1 , x j +2 ). Для ширины 2 мы называем эти мини-последовательности seq −1 , seq 0 и seq +1.
- Затем берем минимум каждой из мини-последовательностей. Опять же, для ширины 2 это дает: (Min(seq −1 ), Min(seq 0 ), Min(seq +1 )). Это дает нам ( n + 1) чисел для каждой точки.
- Наконец, мы берем максимум (минимумов мини-последовательностей) или Max(Min(seq −1 ), Min(seq 0 ), Min(seq +1 )) и это становится L ( x j )
Таким образом, для ширины 2 оператор L имеет вид:
- L ( x j ) = Max(Min(seq -1 ), Min(seq 0 ), Min(seq +1 ))
У Оператор
[ редактировать ]Он идентичен оператору L, за исключением того, что порядок Min и Max обратный, т.е. для ширины 2:
- U ( x j ) = Min(Max(seq −1 ), Max(seq 0 ), Max(seq +1 ))
Примеры
[ редактировать ]Примеры операторов U и L , а также комбинированных операторов UL и LU в образце набора данных показаны на следующих рисунках.
Видно, что результаты операторов UL и LU могут различаться. Комбинированные операторы очень эффективны при удалении импульсного шума. Единственные случаи, когда шум не удаляется эффективно, — это когда мы получаем несколько шумовых сигналов очень близко друг к другу, и в этом случае фильтр «видит» несколько шумов как часть сигнала.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Тьюки, JW (1974). «Нелинейные (несовмещаемые) методы сглаживания данных». Конг. Рек . ИСКОН: 673.
- ^ Янковиц (2007). Некоторые статистические аспекты сглаживателей LULU (кандидатская диссертация). Университет Стелленбоша.
- ^ Перейти обратно: а б Конради, У.Дж., де Вет, Т. и Янковиц, М. (2006). «Точные и асимптотические распределения сглаживателей LULU». Журнал вычислительной и прикладной математики . 186 (1): 253–267. Бибкод : 2006JCoAM.186..253C . дои : 10.1016/j.cam.2005.03.073 .
{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - ^ Ровер, Карл (2005). Нелинейное сглаживание и многоразрешительный анализ . Том. 150. Биркхаузер Базель.
- ^ Фабрис-Ротелли, Ингер Николетт (2009). Операторы LULU в многомерных массивах и приложениях (магистрская диссертация). Университет Претории.
- ^ Ровер, CH (1989). «Идемпотентная односторонняя аппроксимация медианных сглаживателей» . Журнал теории приближения . 58 (2): 151–163. дои : 10.1016/0021-9045(89)90017-8 .
- ^ Ровер, CH (1999). «Проекции и разделители». вопросы Математические 22 (2): 219–230. дои : 10.1080/16073606.1999.9632077 .