Многополюсный магнит

Многополюсные магниты — это магниты , состоящие из нескольких отдельных магнитов, обычно используемые для управления пучками заряженных частиц . Каждый тип магнита служит определенной цели.

Дипольные магниты используются для изгиба траектории частиц.
Квадрупольные магниты используются для фокусировки пучков частиц.
Шестипольные магниты используются для коррекции цветности, вносимой квадрупольными магнитами. ^{[ 1 ]}

Уравнения магнитного поля

Магнитное поле идеального многопольного магнита в ускорителе обычно моделируется как не имеющее (или имеющее постоянную) составляющую, параллельную номинальному направлению луча ( $z$ направление) а поперечные компоненты можно записать в виде комплексных чисел: ^{[ 2 ]}

$B_{x}+iB_{y}=C_{n}\cdot (x-iy)^{n-1}$

где $x$ и $y$ – координаты в плоскости, поперечной номинальному направлению луча. $C_{n}$ — комплексное число, определяющее ориентацию и силу магнитного поля. $B_{x}$ и $B_{y}$ – компоненты магнитного поля в соответствующих направлениях. Поля с настоящим $C_{n}$ называются «нормальными», а поля с $C_{n}$ чисто мнимые называются «перекошенными».

Первые несколько мультипольных полей
н	имя	линии магнитного поля	пример устройства
1	диполь
2	квадруполь
3	шестиполюсный

Уравнение сохраненной энергии

Для электромагнита с цилиндрическим отверстием, создающего чистое мультипольное поле порядка $n$ , запасенная магнитная энергия равна:

$U_{n}={\frac {n!^{2}}{2n}}\pi \mu _{0}\ell N^{2}I^{2}.$

Здесь, $\mu _{0}$ - проницаемость свободного пространства, $\ell$ — эффективная длина магнита (длина магнита с учетом краевых полей), $N$ - количество витков в одной из катушек (такое, чтобы все устройство имело $2nN$ поворачивается), и $I$ это ток, текущий в катушках. Формулируя энергию через $NI$ может оказаться полезным, поскольку не требуется измерять величину поля и радиус отверстия.

Обратите внимание, что для неэлектромагнита это уравнение все еще остается в силе, если магнитное возбуждение можно выразить в амперах.

Вывод

Уравнение запасенной энергии в произвольном магнитном поле: ^{[ 3 ]}

$U={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {B^{2}}{\mu _{0}}}\right)\,d\tau .$

Здесь, $\mu _{0}$ - проницаемость свободного пространства, $B$ - величина поля, а $d\tau$ является бесконечно малым элементом объема. Теперь о электромагните с цилиндрическим отверстием радиуса $R$ , создавая чистое мультипольное поле порядка $n$ , этот интеграл принимает вид:

$U_{n}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\int ^{\ell }\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }B^{2}\,d\tau .$

Закон Ампера для многополюсных электромагнитов определяет поле внутри канала как: ^{[ 4 ]}

$B(r)={\frac {n!\mu _{0}NI}{R^{n}}}r^{n-1}.$

Здесь, $r$ — радиальная координата. Видно, что вдоль $r$ поле диполя постоянно, поле квадрупольного магнита возрастает линейно (т.е. имеет постоянный градиент), а поле секступольного магнита возрастает параболически (т.е. имеет постоянную вторую производную). Подставив это уравнение в предыдущее уравнение для $U_{n}$ дает:

$U_{n}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\int ^{\ell }\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {n!\mu _{0}NI}{R^{n}}}r^{n-1}\right)^{2}\,d\tau ,$

$U_{n}={\frac {1}{2\mu _{0}}}\int _{0}^{R}\left({\frac {n!\mu _{0}NI}{R^{n}}}r^{n-1}\right)^{2}(2\pi \ell r\,dr),$

$U_{n}={\frac {\pi \mu _{0}\ell n!^{2}N^{2}I^{2}}{R^{2n}}}\int _{0}^{R}r^{2n-1}\,dr,$

$U_{n}={\frac {\pi \mu _{0}\ell n!^{2}N^{2}I^{2}}{R^{2n}}}\left({\frac {R^{2n}}{2n}}\right),$

$U_{n}={\frac {n!^{2}}{2n}}\pi \mu _{0}\ell N^{2}I^{2}.$

Ссылки

^ «Варна 2010 | Школа ускорителей ЦЕРН» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 13 мая 2017 г.
^ «Вольски, Уравнения Максвелла для магнитов - Школа ускорителей ЦЕРН, 2009 г.» .
^ Гриффитс, Дэвид (2013). Введение в электромагнетизм (4-е изд.). Иллинойс: Пирсон. п. 329.
^ Танабэ, Джек (2005). Электромагниты с преобладанием железа - проектирование, изготовление, сборка и измерения (4-е изд.). Сингапур: World Scientific.

[1] «Варна 2010 | Школа ускорителей ЦЕРН» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 13 мая 2017 г.

[2] «Вольски, Уравнения Максвелла для магнитов - Школа ускорителей ЦЕРН, 2009 г.» .

[3] Гриффитс, Дэвид (2013). Введение в электромагнетизм (4-е изд.). Иллинойс: Пирсон. п. 329.

[4] Танабэ, Джек (2005). Электромагниты с преобладанием железа - проектирование, изготовление, сборка и измерения (4-е изд.). Сингапур: World Scientific.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]