Сплюснутая сфероидальная волновая функция

В прикладной математике сплюснутые сфероидальные волновые функции (а также вытянутые сфероидальные волновые функции и другие связанные функции) ^{[ 1 ]}) участвуют в решении уравнения Гельмгольца в сплюснутых сфероидальных координатах . При решении этого уравнения $\Delta \Phi +k^{2}\Phi =0$ , методом разделения переменных, $(\xi ,\eta ,\varphi )$ , с:

\ z=(d/2)\xi \eta ,

\ x=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}+1)(1-\eta ^{2})}}\cos \varphi ,

\ y=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}+1)(1-\eta ^{2})}}\sin \varphi ,

\ \xi \geq 0{\text{ and }}|\eta |\leq 1.

решение $\Phi (\xi ,\eta ,\varphi )$ можно записать как произведение радиальной сфероидальной волновой функции $R_{mn}(-ic,i\xi )$ и угловая сфероидальная волновая функция $S_{mn}(-ic,\eta )$ к $e^{im\varphi }$ . Здесь $c=kd/2$ , с $d$ — межфокальная длина эллиптического поперечного сечения сплюснутого сфероида .

Радиальная волновая функция $R_{mn}(-ic,i\xi )$ удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению :

\ (\xi ^{2}+1){\frac {d^{2}R_{mn}(-ic,i\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(-ic,i\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}-{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}+1}}\right){R_{mn}(-ic,i\xi )}=0

.

Угловая волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

\ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}S_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c)+c^{2}\eta ^{2}-{\frac {m^{2}}{1-\eta ^{2}}}\right){S_{mn}(-ic,\eta )}=0

.

Это то же самое дифференциальное уравнение, что и в случае радиальной волновой функции. Однако диапазон радиальной координаты $\xi$ отличается от угловой координаты $\eta$ .

Собственное значение $\lambda _{mn}(-ic)$ этой задачи Штурма–Лиувилля фиксируется требованием, чтобы ${S_{mn}(-ic,\eta )}$ быть конечным для $|\eta |=1$ .

Для $c=0$ эти два дифференциальных уравнения сводятся к уравнениям, которым удовлетворяют соответствующие полиномы Лежандра . Для $c\neq 0$ угловые сфероидальные волновые функции можно разложить в ряд функций Лежандра. Такие расширения были рассмотрены Мюллером. ^{[ 2 ]}

Приведенные выше дифференциальные уравнения для сплюснутых радиальных и угловых волновых функций можно получить из соответствующих уравнений для вытянутых сфероидальных волновых функций путем замены $-ic$ для $c$ и $i\xi$ для $\xi$ . Обозначения сплюснутых сфероидальных функций отражают эту связь.

Существуют разные схемы нормировки сфероидальных функций. Таблицу различных схем можно найти у Абрамовица и Стегуна. ^{[ 3 ]} Абрамовиц и Стегун (и настоящая статья) следуют обозначениям Фламмера. ^{[ 4 ]}

Первоначально сфероидальные волновые функции были введены К. Нивеном, ^{[ 5 ]} которые приводят к уравнению Гельмгольца в сфероидальных координатах. Монографии, связывающие воедино многие аспекты теории сфероидальных волновых функций, были написаны Страттом, ^{[ 6 ]} Страттон и др., ^{[ 7 ]} Мейкснер и Шафке, ^{[ 8 ]} и Пламя. ^{[ 4 ]}

Пламя ^{[ 4 ]} представил подробное обсуждение расчета собственных значений, угловых волновых функций и радиальных волновых функций как для сплюснутого, так и для вытянутого случая. Компьютерные программы для этой цели были разработаны многими, в том числе Ван Буреном и др., ^{[ 9 ]} Кинг и Ван Бюрен, ^{[ 10 ]} Байер и др., ^{[ 11 ]}Чжан и Цзинь, ^{[ 12 ]} и Томпсон. ^{[ 13 ]} Ван Бюрен недавно разработал новые методы расчета сплюснутых сфероидальных волновых функций, которые расширяют возможности получения числовых значений до чрезвычайно широких диапазонов параметров. Эти результаты основаны на более ранних работах по вытянутым сфероидальным волновым функциям. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Исходный код Фортрана, сочетающий новые результаты с традиционными методами, доступен по адресу http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .

Таблицы числовых значений сплюснутых сфероидальных волновых функций приведены у Фламмера, ^{[ 4 ]} Ханиш и др., ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} и Ван Бюрен и др. ^{[ 19 ]}

Асимптотические разложения угловых сплюснутых сфероидальных волновых функций для больших значений $c$ были выведены Мюллером., ^{[ 20 ]} аналогично и для вытянутых сфероидальных волновых функций. ^{[ 21 ]}

Цифровая библиотека математических функций http://dlmf.nist.gov, предоставленная NIST, является отличным ресурсом по сфероидальным волновым функциям.

Ссылки

^ Ф. М. Арскотт, Периодические дифференциальные уравнения , Pergamon Press (1964).
^ HJW Müller, Асимптотические разложения сфероидных функций и их связь со сферическими функциями Z. Angew Mech. 44 ) 371-374, Об асимптотических разложениях сфероидных функций , Z. Math. Mech. , ( 1964 ) 29- 36.
^ . М. Абрамовиц и И. Стегун. Справочник по математическим функциям, стр. 751–759 (Дувр, Нью-Йорк, 1972).
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д К. Фламмер. Сфероидальные волновые функции Издательство Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния, 1957 г.
^ К. Нивен о теплопроводности в эллипсоидах вращения. Философские труды Лондонского королевского общества, 171 стр. 117 (1880)
^ MJO Стратт. Результат Ламеша, Матьеша и родственных им функций в физике и технике . Математика и Гренцб, 1 , стр. 199–323, 1932 г.
^ Дж. А. Страттон, П. М. Морс, Дж. Л. Чу и Ф. Дж. Корбато. Сфероидальные волновые функции , Уайли, Нью-Йорк, 1956 г.
^ Дж. Мейкснер и Ф.В. Шафке. Функции Матье и сфероидные функции Springer-Verlag, Берлин, 1954 г.
^ А. Л. Ван Бюрен, Р. В. Байер и С. Ханиш Компьютерная программа на Фортране для расчета сплюснутых сфероидальных радиальных функций первого и второго рода и их первых производных. (1970)
^ Б. Дж. Кинг и А. Л. Ван Бюрен Компьютерная программа на Фортране для расчета вытянутых и сплюснутых сфероидальных угловых функций первого рода, а также их первых и вторых производных. (1970)
^ Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен, С. Ханиш, Б. Дж. Кинг - Сфероидальные волновые функции: их использование и оценка. Журнал Акустического общества Америки, 48 , стр. 100-1. 102–102 (1970)
^ С. Чжан и Дж. Цзинь. Вычисление специальных функций , Уайли, Нью-Йорк, 1996 г.
^ У. Дж. Томсона. Сфероидальные волновые функции Архивировано 16 февраля 2010 г. на сайте Wayback Machine Computing in Science & Engineering, с. 84, май – июнь 1999 г.
^ А. Л. Ван Бюрен и Дж. Э. Буасверт. Точный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций первого рода и их первых производных , Ежеквартальный журнал прикладной математики 60 , стр. 589-599, 2002 г.
^ А. Л. Ван Бюрен и Дж. Э. Буасверт. Улучшенный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций второго рода и их первых производных , Ежеквартальный журнал прикладной математики 62 , стр. 493-507, 2004 г.
^ С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен и Б. Дж. Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 4, сжатие, m = 0 (1970).
^ С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен и Б. Дж. Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 5, сжатие, m = 1 (1970).
^ С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен и Б. Дж. Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 6, сжатие, m = 2 (1970).
^ А. Л. Ван Бюрен, Би Джей Кинг, Р. В. Байер и С. Ханиш. Таблицы угловых сфероидальных волновых функций, вып. 2, сплющенный, m = 0 , Военно-морская исследовательская лаборатория. Публикация правительства США. Типография, 1975 год.
^ HJW Мюллер, Асимптотические разложения сплюснутых сфероидальных волновых функций и их характеристические числа , J. Reine Angew. Математика. 211 (1962) 33 - 47
^ HJW Мюллер, Асимптотические разложения вытянутых спиральных волновых функций и их характеристические числа , J. reine angw. Математика. 212 (1963) 26 - 48

Внешние ссылки

MathWorld Функции сфероидальной волны
MathWorld Вытянутая сфероидальная волновая функция
MathWorld «Сплюснутая сфероидальная волна» Функция

[1] Ф. М. Арскотт, Периодические дифференциальные уравнения , Pergamon Press (1964).

[2] HJW Müller, Асимптотические разложения сфероидных функций и их связь со сферическими функциями Z. Angew Mech. 44 ) 371-374, Об асимптотических разложениях сфероидных функций , Z. Math. Mech. , ( 1964 ) 29- 36.

[3] . М. Абрамовиц и И. Стегун. Справочник по математическим функциям, стр. 751–759 (Дувр, Нью-Йорк, 1972).

[Flammer-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д К. Фламмер. Сфероидальные волновые функции Издательство Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния, 1957 г.

[5] К. Нивен о теплопроводности в эллипсоидах вращения. Философские труды Лондонского королевского общества, 171 стр. 117 (1880)

[6] MJO Стратт. Результат Ламеша, Матьеша и родственных им функций в физике и технике . Математика и Гренцб, 1 , стр. 199–323, 1932 г.

[7] Дж. А. Страттон, П. М. Морс, Дж. Л. Чу и Ф. Дж. Корбато. Сфероидальные волновые функции , Уайли, Нью-Йорк, 1956 г.

[8] Дж. Мейкснер и Ф.В. Шафке. Функции Матье и сфероидные функции Springer-Verlag, Берлин, 1954 г.

[9] А. Л. Ван Бюрен, Р. В. Байер и С. Ханиш Компьютерная программа на Фортране для расчета сплюснутых сфероидальных радиальных функций первого и второго рода и их первых производных. (1970)

[10] Б. Дж. Кинг и А. Л. Ван Бюрен Компьютерная программа на Фортране для расчета вытянутых и сплюснутых сфероидальных угловых функций первого рода, а также их первых и вторых производных. (1970)

[11] Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен, С. Ханиш, Б. Дж. Кинг - Сфероидальные волновые функции: их использование и оценка. Журнал Акустического общества Америки, 48 , стр. 100-1. 102–102 (1970)

[12] С. Чжан и Дж. Цзинь. Вычисление специальных функций , Уайли, Нью-Йорк, 1996 г.

[13] У. Дж. Томсона. Сфероидальные волновые функции Архивировано 16 февраля 2010 г. на сайте Wayback Machine Computing in Science & Engineering, с. 84, май – июнь 1999 г.

[14] А. Л. Ван Бюрен и Дж. Э. Буасверт. Точный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций первого рода и их первых производных , Ежеквартальный журнал прикладной математики 60 , стр. 589-599, 2002 г.

[15] А. Л. Ван Бюрен и Дж. Э. Буасверт. Улучшенный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций второго рода и их первых производных , Ежеквартальный журнал прикладной математики 62 , стр. 493-507, 2004 г.

[16] С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен и Б. Дж. Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 4, сжатие, m = 0 (1970).

[17] С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен и Б. Дж. Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 5, сжатие, m = 1 (1970).

[18] С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен и Б. Дж. Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, том 6, сжатие, m = 2 (1970).

[19] А. Л. Ван Бюрен, Би Джей Кинг, Р. В. Байер и С. Ханиш. Таблицы угловых сфероидальных волновых функций, вып. 2, сплющенный, m = 0 , Военно-морская исследовательская лаборатория. Публикация правительства США. Типография, 1975 год.

[20] HJW Мюллер, Асимптотические разложения сплюснутых сфероидальных волновых функций и их характеристические числа , J. Reine Angew. Математика. 211 (1962) 33 - 47

[21] HJW Мюллер, Асимптотические разложения вытянутых спиральных волновых функций и их характеристические числа , J. reine angw. Математика. 212 (1963) 26 - 48

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]