Вытянутая сфероидальная волновая функция

Вытянутые сфероидальные волновые функции являются собственными функциями лапласиана в вытянутых сфероидальных координатах, адаптированными к граничным условиям на определенных эллипсоидах вращения (эллипс, вращающийся вокруг своей длинной оси, «сигарообразная форма»). С этим связаны сплюснутые сфероидальные волновые функции («блинообразный» эллипсоид).

Решения волнового уравнения

Решите уравнение Гельмгольца , $\nabla ^{2}\Phi +k^{2}\Phi =0$, методом разделения переменных в вытянутых сфероидальных координатах , $(\xi ,\eta ,\varphi )$, с:

$\ x=a{\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\cos \varphi ,$

$\ y=a{\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\sin \varphi ,$

$\ z=a\,\xi \,\eta ,$

и $\xi \geq 1$, $|\eta |\leq 1$, и $0\leq \varphi \leq 2\pi$. Здесь, $2a>0$ — межфокальное расстояние эллиптического поперечного сечения вытянутого сфероида. Параметр $c=ka$, решение $\Phi (\xi ,\eta ,\varphi )$ можно написать как продукт $e^{{\rm {i}}m\varphi }$, радиальная сфероидальная волновая функция $R_{mn}(c,\xi )$ и угловая сфероидальная волновая функция $S_{mn}(c,\eta )$.

Радиальная волновая функция $R_{mn}(c,\xi )$ удовлетворяет линейному обыкновенному дифференциальному уравнению :

$\ (\xi ^{2}-1){\frac {d^{2}R_{mn}(c,\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(c,\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}+{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}-1}}\right){R_{mn}(c,\xi )}=0$

Угловая волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

$\ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}S_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\eta ^{2}+{\frac {m^{2}}{\eta ^{2}-1}}\right){S_{mn}(c,\eta )}=0$

Это то же самое дифференциальное уравнение, что и в случае радиальной волновой функции. Однако диапазон переменной другой: в радиальной волновой функции $\xi \geq 1$, а в угловой волновой функции $|\eta |\leq 1$. Собственное значение $\lambda _{mn}(c)$ этой задачи Штурма–Лиувилля фиксируется требованием, чтобы ${S_{mn}(c,\eta )}$ должно быть конечным для $\eta \to \pm 1$.

Для $c=0$ оба дифференциальных уравнения сводятся к уравнениям, которым удовлетворяют соответствующие полиномы Лежандра . Для $c\neq 0$угловые сфероидальные волновые функции можно разложить в ряд функций Лежандра.

Если кто-то пишет $S_{mn}(c,\eta )=(1-\eta ^{2})^{m/2}Y_{mn}(c,\eta )$, функция $Y_{mn}(c,\eta )$ удовлетворяет

$\ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}Y_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2(m+1)\eta {\frac {dY_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}-\left(c^{2}\eta ^{2}+m(m+1)-\lambda _{mn}(c)\right){Y_{mn}(c,\eta )}=0,$

которое известно как уравнение сфероидальной волны . Это вспомогательное уравнение использовал Стрэттон.

Сигналы с ограниченной полосой частот

При обработке сигналов вытянутые сфероидальные волновые функции (PSWF) полезны в качестве собственных функций операции ограничения времени, за которой следует фильтр нижних частот. Позволять $D$ обозначим оператор усечения времени такой, что $f(t)=Df(t)$ тогда и только тогда, когда $f(t)$ имеет поддержку на $[-T,T]$. Аналогично, пусть $B$ Обозначим идеальный оператор фильтрации нижних частот, такой что $f(t)=Bf(t)$ тогда и только тогда, когда его преобразование Фурье ограничено $[-\Omega ,\Omega ]$. Оператор $BD$ оказывается линейным, ограниченным и самосопряженным . Для $n=0,1,2,\ldots$ мы обозначаем через $\psi _{n}(c,t)$ тот $n$-th собственная функция , определяемая как

$\ BD\psi _{n}(c,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\Omega }^{\Omega }\left(\int _{-T}^{T}\psi _{n}(c,\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau \right)e^{i\omega t}\,d\omega =\lambda _{n}(c)\psi _{n}(c,t),$

где $1>\lambda _{0}(c)>\lambda _{1}(c)>\cdots >0$ являются связанными собственными значениями, и $c=T\Omega$ является константой. Функции с ограниченным диапазоном $\{\psi _{n}(c,t)\}_{n=0}^{\infty }$ – вытянутые сфероидальные волновые функции, пропорциональные $S_{0n}(c,t/T)$ представлено выше. (См. также Проблема спектральной концентрации .)

Пионерские работы в этой области выполнили Слепян и Поллак. Ландау и Поллак, и Слепян.

Вытянутые сфероидальные волновые функции, областью определения которых является (часть) поверхности единичной сферы, в более общем смысле называются «функциями Слепа». Они очень полезны в таких дисциплинах, как геодезия, космология, или томография

Техническая информация и история

Существуют разные схемы нормировки сфероидальных функций. Таблицу различных схем можно найти у Абрамовица и Стегуна. которые следуют обозначениям Фламмера. Цифровая библиотека математических функций, предоставленная NIST, является отличным ресурсом по сфероидальным волновым функциям.

Таблицы числовых значений сфероидальных волновых функций приведены у Фламмера, Хантер, Ханиш и др., и Ван Бюрен и др.

Первоначально сфероидальные волновые функции были введены К. Нивеном, которые приводят к уравнению Гельмгольца в сфероидальных координатах. Монографии, связывающие воедино многие аспекты теории сфероидальных волновых функций, были написаны Страттом, Страттон и др., Мейкснер и Шафке, и Пламя.

Пламя предоставил подробное обсуждение расчета собственных значений, угловых волновых функций и радиальных волновых функций как для вытянутого, так и для сплюснутого случая. Компьютерные программы для этой цели были разработаны многими, в том числе Кингом и др., Патц и Ван Бюрен, Байер и др., Чжан и Цзинь, Томпсон и Фаллун. Ван Бюрен и Буасверт недавно разработали новые методы расчета вытянутых сфероидальных волновых функций, которые расширяют возможности получения числовых значений до чрезвычайно широких диапазонов параметров. Исходный код Фортрана, сочетающий новые результаты с традиционными методами, доступен по адресу http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .

Асимптотические разложения угловых вытянутых сфероидальных волновых функций для больших значений $c$ были выведены Мюллером. Он также исследовал связь между асимптотическим разложением сфероидальных волновых функций.

Внешние ссылки

• MathWorld Функции сфероидальной волны
• MathWorld Вытянутая сфероидальная волновая функция
• MathWorld «Сплюснутая сфероидальная волна» Функция