Компьютер для работы с функциями

В рамках вычислительной техники и информатики компьютер для операций с (математическими) функциями (в отличие от обычного компьютера ) оперирует функциями на аппаратном уровне (т.е. без программирования этих операций). ^[1]^[2]^[3]

История [ править ]

Счетная машина для операций с функциями была представлена и разработана Михаилом Карцевым в 1967 году. ^[1] Среди операций этой вычислительной машины были сложение, вычитание и умножение функций, сравнение функций, те же операции между функцией и числом, нахождение максимума функции, вычисление неопределенного интеграла , вычисление определенного интеграла от производной двух функций, производной от двух функций. функции, сдвиг функции по оси X и т. д. По своей архитектуре эта вычислительная машина представляла собой (используя современную терминологию) векторный процессор или процессор массивов , центральный процессор (ЦП), реализующий набор команд, содержащий инструкции, оперирующие одномерные массивы данных, называемые векторами . В нем использовано то, что многие из этих операций можно интерпретировать как известные операции над векторами: сложение и вычитание функций — как сложение и вычитание векторов, вычисление определенного интеграла от производной двух функций — как вычисление векторного произведения двух векторов, сдвиг функции по оси X – как поворот вектора вокруг осей и т.д. ^[1] В 1966 году Хмельник предложил метод кодирования функций: ^[2] т.е. представление функций «единым» (для функции в целом) позиционным кодом. И поэтому упомянутые операции с функциями выполняются как уникальные компьютерные операции с такими кодами на «единой» арифметической единице . ^[3]

Позиционные коды функций с одной переменной [ править ]

Источник: ^[2]^[3]

Основная идея [ править ]

Позиционный код целого числа $A$ это числовое обозначение цифр $\alpha$ в определенной позиционной системе счисления вида

A=\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{k}\dots \alpha _{n}

.

Такой код можно назвать «линейным». В отличие от него позиционный код одной переменной $x$ функция $F(x)$ имеет форму:

F(x)={\begin{pmatrix}\ &\ &\cdots \\\ &\ &\alpha _{22}\cdots \alpha _{2k}\cdots \\\ &\alpha _{11}&\alpha _{12}\cdots \alpha _{1k}\cdots \\\alpha _{00}&\alpha _{01}&\alpha _{02}\cdots \alpha _{0k}\cdots \end{pmatrix}}

поэтому он плоский и «треугольный», поскольку цифры в нем составляют треугольник.

Значение позиционного номера $A$ выше это сумма

A=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}\rho ^{k}

,

где $\rho$ является основанием указанной системы счисления. Позиционному коду функции с одной переменной соответствует «двойной» код вида

F(x)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=0}^{k}\alpha _{mk}R^{k}y^{k-m}(1-y)^{m}

,

где $R$ целое положительное число, количество принятых значений $\alpha$ , и $y$ это определенная функция аргумента $x$ .

Сложение позиционных кодов цифр связано с переносом переноса на старшую цифру по схеме

\alpha _{k}\longrightarrow \alpha _{k+1}

.

Добавление позиционных кодов однопеременных функций также связано с переносом переноса на старшие разряды по схеме:

{\begin{pmatrix}\ \ &\alpha _{k+1,m+1}\\\ \nearrow &\ \\\alpha _{k,m}\longrightarrow &\alpha _{k+1,m}\end{pmatrix}}

.

Здесь та же передача осуществляется одновременно до двух старших цифр.

R -нарный треугольный код [ править ]

Треугольный код называется R-нарным (и обозначается как $TK_{R}$ ), если числа $\alpha _{mk}$ брать их значения из набора

D_{R}=\{-r_{1},-r_{1}+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_{2}-1,r_{2}\}

, где

r_{1},\;r_{2}\geq 0

и

R_{}^{}=r_{1}+r_{2}+1

.

Например, треугольный код является троичным кодом. $TK_{3}$ , если $\alpha _{mk}\in (-1,0,1)$ и четвертичный $TK_{4}$ , если $\alpha _{mk}\in (-2,-1,0,1)$ .
Для R -арных треугольных кодов справедливы следующие равенства:

{\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &-a\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &0\end{pmatrix}}

,

где $a$ является произвольным числом. Существует $TK_{R}$ произвольного целого действительного числа. В частности, $TK_{R}(\alpha )=\alpha$ . Также существует $TK_{R}$ любой функции вида $y^{k}$ . Например, $TK_{R}(y^{2})=(0\ 0\ 1)$ .

Однозначное сложение [ править ]

в R-арных треугольных кодах заключается в следующем:

в данном $(mk)$ -цифра определяет сумму $S_{mk}^{}$ цифр, которые добавляются $\alpha _{mk},\ \beta _{mk}$ и два переноса $p_{m,k-1},\ p_{m-1,k-1}$ , переведенный в эту цифру слева, т.е.

S_{mk}^{}=\alpha _{mk}+\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}

,

эта сумма представлена в виде $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}$ , где $\sigma _{mk}\in D_{R}$ ,
$\sigma _{mk}$ написано в $(mk)$ -цифра сводного кода и перенос $p_{mk}$ от данной цифры переносится в $(m,k+1)$ -цифра и $(m+1,k+1)$ — цифра.

Эта процедура описывается (как и при сложении однозначных чисел) таблицей сложения однозначных чисел, где все значения слагаемых $\alpha _{mk}\in D_{R}$ и $\beta _{mk}\in D_{R}$ должны присутствовать и все значения переносов, возникающие при разложении суммы $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+Rp_{mk}$ . Такая таблица может быть синтезирована для $R>2.$
Ниже мы написали таблицу сложения однозначных чисел для $R=3$ :

средняя школа	ТК (Смк)		$\sigma _{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Однозначное вычитание [ править ]

в R-арных треугольных кодах отличается от однозначного сложения только тем, что в заданных $(mk)$ -цифровое значение $S_{mk}^{}$ определяется по формуле

S_{mk}^{}=\alpha _{mk}-\beta _{mk}+p_{m,k-1}+p_{m-1,k-1}

.

Однозначное деление по параметру R [ править ]

в R-арных треугольных кодах основан на использовании корреляции:

{\begin{pmatrix}\ \ &a\\\ \nearrow &\ \\0\longrightarrow &0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \ &0\\\ \nearrow &\ \\aR\longrightarrow &-a\end{pmatrix}}

,

отсюда следует, что деление каждой цифры причины переносит на две младшие цифры. Следовательно, цифры, полученные в результате этой операции, представляют собой сумму частного от деления этой цифры на R и двух переносов от двух старших цифр. Таким образом, при делении на параметр R

в данном $(mk)$ -цифра определяется следующая сумма

S_{mk}^{}=\alpha _{mk}/R-p_{m+1,k}/R+p_{m+1,k+1}

,

эта сумма представлена как $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R$ , где $\sigma _{mk}\in D_{R}$ ,
$\sigma _{mk}$ записано в $(mk)$ — цифра полученного кода и перенести $p_{mk}$ из данной цифры переводится в $(m-1,k-1)$ -цифра и $(m-1,k)$ -цифра.

Эта процедура описывается таблицей однозначного деления по параметру R, где все значения слагаемых и все значения переносов, возникающие при разложении суммы $S_{mk}^{}=\sigma _{mk}+p_{mk}/R$ , должен присутствовать. Такая таблица может быть синтезирована для $R>2.$
Ниже будет приведена таблица для однозначного деления по параметру R для $R=3$ :

средняя школа	ТК (Смк)		$\sigma _{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Сложение и вычитание [ править ]

R-арных треугольных кодов состоит (как и в позиционных кодах чисел) в последовательно выполняемых одноразрядных операциях. Обратите внимание, что однозначные операции во всех разрядах каждого столбца выполняются одновременно.

Умножение [ править ]

R-арных треугольных кодов. Умножение кода $TK_{R}'^{}$ к $(mk)$ -цифра другого кода $TK_{R}''^{}$ состоит в $(mk)$ -сдвиг кода $TK_{R}'^{}$ , то есть сдвиг k столбцов влево и m строк вверх. Умножение кодов $TK_{R}'^{}$ и $TK_{R}''^{}$ состоит в последующем $(mk)$ - сдвиги кода $TK_{R}'^{}$ и добавление сдвинутого кода $TK_{R}'^{}$ с частью-произведением (как в позиционных кодах чисел).

Вывод [ править ]

R-арных треугольных кодов. Производная функции $F(x)$ , определенный выше, есть

{\frac {\partial F(x)}{\partial x}}={\frac {\partial y}{\partial x}}{\frac {\partial F(x)}{\partial y}}

.

Итак, вывод треугольных кодов функции $F(x)$ заключается в определении треугольного кода частной производной ${\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$ и его умножение на известный треугольный код производной ${\frac {\partial y}{\partial x}}$ . Определение треугольного кода частной производной ${\frac {\partial F(x)}{\partial y}}$ основано на соотношении

{\frac {\partial }{\partial x}}{\begin{pmatrix}\ &\ &0\\\ &0&\alpha _{mk}\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ &\ &(k-m)\alpha _{mk}\\\ &0&(k-2m)\alpha _{mk}\\0&0&(-m)\alpha _{mk}\end{pmatrix}}

.

Метод вывода заключается в организации переносов из mk-разряда в (m+1,k)-разряд и в (m-1,k)-разряд и их суммирование в заданном разряде производится так же, как и в одно- сложение цифр.

Кодирование и декодирование [ править ]

R-арных треугольных кодов. Функция, представленная рядом вида

F(x)=\sum _{k=0}^{n}A_{k}y^{k}

,

с целыми коэффициентами $A_{k}$ , могут быть представлены R-нарными треугольными кодами для этих коэффициентов и функций $y^{k}$ имеют R-нарные треугольные коды (о которых говорилось в начале раздела). С другой стороны, R-нарный треугольный код может быть представлен указанной серией, как и любой терм $\alpha _{mk}R^{k}y^{k}(1-y)^{m}$ в позиционном разложении функция (соответствующая этому коду) может быть представлена аналогичным рядом.

Усечение [ править ]

R-арных треугольных кодов. Так называется операция уменьшения количества «не»-нулевых столбцов. Необходимость усечения возникает при появлении переносов за цифровую сеть. Усечение заключается в делении по параметру R. Все коэффициенты представленного кодом ряда сокращаются в R раз, а дробные части этих коэффициентов отбрасываются. Первый член ряда также отбрасывается. Такое сокращение допустимо, если известно, что ряды функций сходятся. Усечение заключается в последовательном выполнении одноразрядных операций деления на параметр R. Одноразрядные операции во всех разрядах строки выполняются одновременно, а переносы из нижней строки отбрасываются.

Масштабный коэффициент [ править ]

R-нарный треугольный код сопровождается масштабным коэффициентом M, аналогичным показателю степени для чисел с плавающей запятой. Фактор М позволяет отобразить все коэффициенты кодированного ряда в виде целых чисел. Коэффициент M умножается на R при усечении кода. Чтобы коэффициенты сложения M были выровнены, для этого необходимо усечь один из добавляемых кодов. При умножении также умножаются множители M.

Позиционный код для функций многих переменных [ править ]

Источник: ^[4]

Позиционный код функции двух переменных изображен на рисунке 1. Он соответствует «тройной» сумме вида:: $F(x,v)=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m1=0}^{k}\sum _{m2=0}^{k}\alpha _{m1,m2,k}R^{k}y^{k-m1}(1-y)^{m1}z^{k-m2}(1-z)^{m2}$ ,
где $R$ целое положительное число, количество значений фигуры $\alpha _{m1,m2,k}$ , и $y(x),~z(v)$ — определенные функции аргументов $x,~v$ соответственно. На рисунке 1 узлы соответствуют цифрам. $\alpha _{m1,m2,k}$ , а в кружках значения индексов ${m1,m2,k}$ соответствующей цифры. Позиционный код функции двух переменных называется «пирамидальным». Позиционный код называется R-нарным (и обозначается как $PK_{R}$ ), если числа $\alpha _{m1,m2,k}$ принять значения из набора $D_{R}$ . При добавлении кодов $PK_{R}$ перенос распространяется на четыре цифры и, следовательно, $R\geq 7$ .

Позиционному коду функции от нескольких переменных соответствует сумма вида

F(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{a})=\sum _{k=0}^{n}\sum _{m_{1}=0}^{k}\ldots \sum _{m_{a}=0}^{k}(\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}R^{k}\prod _{i=1}^{a}(y_{i}^{k-m_{i}}(1-y_{i})^{m_{i}}))

,

где $R$ целое положительное число, количество значений цифры $\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}$ , и $y_{i}(x_{i})$ определенные функции аргументов $x_{i}$ . Позиционный код функции нескольких переменных называется «гиперпирамидальным». На рисунке 2 изображен, например, позиционный гиперпирамидальный код функции трех переменных. На нем узлы соответствуют цифрам $\alpha _{m1,m2,m3,k}$ , а кружки содержат значения индексов ${m1,m2,m3,k}$ соответствующей цифры. Позиционный гиперпирамидальный код называется R-нарным (и обозначается как $GPK_{R}$ ), если числа $\alpha _{m_{1},\ldots ,m_{a},k}$ принять значения из набора $D_{R}$ . При добавлении кодов $GPK_{R}$ перенос распространяется на -мерный куб , содержащий $2^{a}$ цифры и, следовательно, $R\geq (2^{a-1}-1)$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Малиновский, Б. Н. (1995). История компьютерных технологий в их лицах . Киев: Фирма «КИТ». ISBN 5-7707-6131-8 . ( см. также здесь http://www.sigcis.org/files/SIGCISMC2010_001.pdf и английскую версию здесь )
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Хмельник, С.И. (1966). «Кодирование функций». 4 . Кибернетика АН СССР. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь ) (см. также здесь на русском языке )
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Хмельник, С.И. (2004). Компьютерная арифметика функций. Алгоритмы и проектирование аппаратного обеспечения . Израиль. ISBN 978-0-557-07520-1 . {{cite book}}: |work= игнорируется ( помощь ) CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) (см. также здесь на русском языке )
^ Хмельник С.И. (1970). «Несколько типов кодов позиционных функций». 5 . Кибернетика АН СССР. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь ) (см. также здесь на русском языке )

[Malinovsky-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Малиновский, Б. Н. (1995). История компьютерных технологий в их лицах . Киев: Фирма «КИТ». ISBN 5-7707-6131-8 . ( см. также здесь http://www.sigcis.org/files/SIGCISMC2010_001.pdf и английскую версию здесь )

[Khmelnik1-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Хмельник, С.И. (1966). «Кодирование функций». 4 . Кибернетика АН СССР. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь ) (см. также здесь на русском языке )

[Khmelnik2-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Хмельник, С.И. (2004). Компьютерная арифметика функций. Алгоритмы и проектирование аппаратного обеспечения . Израиль. ISBN 978-0-557-07520-1 . {{cite book}}: |work= игнорируется ( помощь ) CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) (см. также здесь на русском языке )

[Khmelnik3-4] Хмельник С.И. (1970). «Несколько типов кодов позиционных функций». 5 . Кибернетика АН СССР. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь ) (см. также здесь на русском языке )

[1]

[2]

[3]

[4]