Теория репрезентативного слоя

Концепция репрезентативного слоя возникла благодаря работе Дональда Дама с помощью Кевина Дама и Карла Норриса по описанию спектроскопических свойств образцов твердых частиц, особенно применительно к спектроскопии ближнего инфракрасного диапазона . Репрезентативный слой имеет ту же долю пустот, что и образец, который он представляет, и каждый тип частиц в образце имеет ту же объемную долю и долю площади поверхности, что и образец в целом. Спектроскопические свойства репрезентативного слоя могут быть получены из спектроскопических свойств частиц, которые могут быть определены самыми разными способами. Хотя репрезентативный слой можно использовать в любой теории, основанной на математике плоскопараллельных слоев, существует ряд определений и математических методов, как старых, так и новых, которые стали частью теории репрезентативного слоя .

Теорию репрезентативного слоя можно использовать для определения спектроскопических свойств совокупности частиц по свойствам отдельных частиц в совокупности. Образец моделируется как серия слоев, каждый из которых параллелен друг другу и перпендикулярен падающему лучу. Затем используется математика плоскопараллельных слоев для извлечения желаемых свойств из данных, в первую очередь свойств коэффициента линейного поглощения , который ведет себя аналогично коэффициенту в законе Бера. Теория репрезентативного слоя дает возможность выполнять расчеты свойств нового образца путем изменения свойств одного слоя частиц, что не требует переделки математики для образца в целом.

История

Первая попытка объяснить пропускание и отражение слоистого материала была предпринята Джорджем Г. Стоксом примерно в 1860 году. и привело к очень полезным отношениям. Джон В. Стратт (лорд Рэйли) и Густав Мие в высокой степени разработал теорию однократного рассеяния, но Ауртур Шустер был первым, кто рассмотрел множественный разброс. Его интересовали облачные атмосферы звезд, и он разработал модель плоскопараллельного слоя, в которой поле излучения было разделено на прямую и обратную компоненты. Эту же модель много позже использовали Пауль Кубелка и Франц Мунк , чьи имена обычно приписывают ей спектроскописты.

После Второй мировой войны область спектроскопии отражения активно исследовалась как теоретически, так и экспериментально. Функция ремиссии, ${\textstyle F(R_{\infty })}$, следуя теории Кубелки-Мунка, был ведущим претендентом на роль метрики поглощения, аналогичной функции поглощения в спектроскопии поглощения на просвет. 

Первоначально форма решения КМ была следующей: ${\textstyle F(R_{\infty })\equiv {\frac {(1-R_{\infty })^{2}}{2R_{\infty }}}={\frac {a_{0}}{r_{0}}}}$, но некоторыми авторами он был переписан в терминах линейных коэффициентов, став ${\textstyle F(R_{\infty })\equiv {\frac {(1-R_{\infty })^{2}}{2R_{\infty }}}={\frac {k}{s}}}$ , принимая $k$ и $s$ как эквивалентные коэффициентам линейного поглощения и рассеяния, как они появляются в законе Бугера-Ламберта, хотя источники, выведшие уравнения, предпочитали символизм ${\textstyle {\frac {K}{S}}}$ и обычно подчеркивал, что ${\textstyle K=2k}$ и $S$ представляет собой параметр ремиссии или обратного рассеяния, который в случае диффузного рассеяния следует принимать за интеграл.

В 1966 году в книге под названием «Спектроскопия отражения» Гарри Хект отметил, что формулировка ${\textstyle F(R_{\infty })={\frac {k}{s}}}$ привело к ${\textstyle \log F(R_{\infty })=\log k-\log s}$, что позволило построить график ${\textstyle F(R_{\infty })}$ «от длины волны или волнового числа для конкретного образца», дающая кривую, соответствующую «реальному поглощению, определенному измерениями пропускания, за исключением смещения на ${\textstyle -\log s}$ в направлении ординат». Однако в представленных данных «очевидно заметное отклонение функции ремиссии... в области большого угасания». действителен в сильно поглощающих материалах», в том числе: «неполная диффузия в процессе рассеяния»; неиспользование «рассеянного освещения; «повышенная доля регулярного размышления»; но пришел к выводу, что «несмотря на вышеупомянутые трудности, ... функция ремиссии должна быть линейной функцией концентрации на данной длине волны для постоянного размера частиц», хотя и заявила, что «это обсуждение полностью ограничивается отражательной способностью однородного порошка. «слои», хотя «системы уравнений для объединения неоднородных слоев не могут быть решены относительно рассеивающих и поглощающих свойств даже в простом случае двойного сочетания подслоев ... Это означает, что теория (Кубелки-Мунка) не может включать в себя. явным образом, любая зависимость отражения от размера или формы частиц или показателя преломления».

Область ближней инфракрасной спектроскопии (БИК) зародилась в 1968 году, когда Карл Норрис и его коллеги из Лаборатории инструментальных исследований Министерства сельского хозяйства США впервые применили эту технологию к сельскохозяйственной продукции. Министерство сельского хозяйства США обнаружило, как использовать БИК эмпирически, основываясь на доступных источниках, решетках и материалах детекторов. Даже диапазон длин волн БИК был установлен эмпирически на основе рабочего диапазона детектора PbS. Следовательно, она не рассматривалась как строгая наука: она не развивалась обычным путем, от исследовательских институтов к общему использованию. Несмотря на то, что теория Кубелки-Мунка предоставила функцию ремиссии, которую можно было использовать в качестве показателя поглощения, Норрис выбрал ${\textstyle \log(1/R_{\infty })}$ для удобства. Он считал, что проблема нелинейности между показателем и концентрацией связана с размером частиц (теоретическая проблема) и рассеянным светом (инструментальный эффект). Качественно он объяснил различия в спектрах частиц разного размера изменениями эффективной длины пути, который свет прошел через образец.

В 1976 году Хект опубликовал исчерпывающую оценку различных теорий, которые считались довольно общими. В нем он представил свой вывод конечно-разностной формулы Хехта путем замены фундаментальных дифференциальных уравнений теории Кубелки-Мунка конечно-разностными уравнениями и получил: ${\textstyle F(R_{\infty })=a{\biggl (}{\frac {1}{r}}-1{\biggr )}-{\frac {a^{2}}{2r}}}$ . Он отметил, что «хорошо известно, что сюжет ${\textstyle F(R_{\infty })}$ против $K$ отклоняется от линейности при высоких значениях $K$, и кажется, что (это уравнение) может быть использовано для частичного объяснения отклонений», и «представляет собой улучшение диапазона применимости и показывает необходимость учитывать корпускулярную природу рассеивающих сред при разработке более точной теории, с помощью которой можно определить абсолютную поглощающую способность».

В 1982 году Джерри Берт созвал встречу экспертов в нескольких областях, влияющих на БИК-спектроскопию , с упором на спектроскопию диффузного отражения, независимо от того, какая часть электромагнитного спектра может использоваться. Это было началом Международной конференции по диффузному отражению. На этой встрече присутствовал Гарри Хехт, который, возможно, в то время был самым сведущим человеком в мире в области теории диффузного отражения. Сам Джерри сделал множество фотографий, иллюстрирующих различные аспекты диффузного отражения, многие из которых не могли быть объяснены с помощью лучших доступных теорий. В 1987 году Бёрт и Хехт написали совместную статью в новом справочнике: что указало направление будущей теоретической работы.

В 1994 году Дональд и Кевин Дам начали использовать численные методы для расчета ремиссии и пропускания на образцах с различным количеством плоскопараллельных слоев на основе фракций поглощения и ремиссии для одного слоя. Используя этот совершенно независимый подход, они нашли функцию, независимую от количества слоев образца. Эта функция, называемая функцией абсорбции/ремиссии и прозванная функцией ART, определяется как: ${\textstyle A(R,T)\equiv {\frac {(1-R_{n})^{2}-T_{n}^{2}}{R_{n}}}={\frac {(2-a-2r)a}{r}}={\frac {a(1+t-r)}{r}}=2F(R_{\infty })={\frac {2a_{0}}{r_{0}}}}$ . Помимо показанных здесь соотношений, полученные для общего случая формулы полностью согласуются с формулами Стокса , уравнениями Бенфорда и конечно-разностной формулой Гехта . Для особых случаев бесконечно малых или бесконечно разбавленных частиц он дает результаты, согласующиеся с уравнением Шустера для изотропного рассеяния и уравнением Кубелки-Мунка . Все эти уравнения относятся к плоскопараллельным слоям, использующим два световых потока. Эта совокупная математика была проверена на данных, собранных с использованием направленного излучения на пластиковые листы, системы, которая точно соответствует физической модели серии плоскопараллельных слоев, и оказалась соответствующей. Математика предоставила: 1) метод использования плоскопараллельной математики для разделения коэффициентов поглощения и ремиссии для образца; 2) функция поглощения/ремиссии, постоянная для всей толщины образца; и 3) уравнения, связывающие поглощение и ремиссию образца одной толщины с поглощением образца любой другой толщины.

Математика плоскопараллельных слоев в абсорбционной спектроскопии

Используя упрощающие предположения, спектроскопические параметры (фракции поглощения, затухания и пропускания) плоскопараллельного слоя можно построить из показателя преломления материала, составляющего слой, линейного коэффициента поглощения (поглощающей способности) материала и толщина слоя. Хотя можно сделать и другие предположения, чаще всего используются предположения о нормальном падении направленного луча света с одинаковым внутренним и внешним отражением от поверхности.

Определение фракций A , R , T для поверхности

В частном случае, когда падающее излучение перпендикулярно (перпендикулярно) поверхности и поглощение незначительно, интенсивность отраженного и прошедшего лучей можно рассчитать по показателям преломления η ₁ и η ₂ двух сред, где r равно доля отраженного падающего света, а t — доля прошедшего света:

$r={\frac {(\eta _{2}-\eta _{1})^{2}}{(\eta _{2}+\eta _{1})^{2}}}$ , $t={\frac {4\eta _{1}\eta _{2}}{(\eta _{2}+\eta _{1})^{2}}}$ , причём поглощенная доля принимается равной нулю ( $a$ = 0 ).

Иллюстрация

Для луча света, движущегося в воздухе с приблизительным показателем преломления 1,0 и встречающегося на поверхности материала с показателем преломления 1,5:

$r={\frac {(\eta _{2}-\eta _{1})^{2}}{(\eta _{2}+\eta _{1})^{2}}}={\frac {0.5^{2}}{2.5^{2}}}=0.04$ , $t={\frac {4\eta _{1}\eta _{2}}{(\eta _{2}+\eta _{1})^{2}}}={\frac {(4)(1)(1.5)}{2.5^{2}}}=0.96$

Определение фракций A , R , T для листа

Существует упрощенный частный случай спектроскопических параметров листа. Этот лист состоит из трех плоскопараллельных слоев (1: передняя поверхность, 2: внутренняя, 3: задняя поверхность), в которых обе поверхности имеют одинаковую долю засветки при освещении с любого направления, независимо от относительных показателей преломления двух сред на поверхности. с любой стороны поверхности. Для случая нулевого поглощения внутри слоя суммарное просветление и пропускание из слоя можно определить из бесконечного ряда, где $r_{0}$ ремиссия с поверхности:

$A=0,\qquad$ $R=r_{0}+(1-r_{0})^{2}\sum _{n=1}^{\infty }r_{0}^{(2n-1)},\qquad$ $T=(1-r_{0})^{2}\sum _{n=0}^{\infty }r_{0}^{2n}.$

Эти формулы могут быть изменены для учета поглощения. Альтернативно, спектроскопические параметры листа (или плиты) могут быть построены на основе спектроскопических параметров отдельных частей, составляющих слой: поверхность, внутренняя часть, поверхность. Это можно сделать, используя разработанный Кубелкой подход к обработке неоднородных слоев . Используя пример из предыдущего раздела: { A ₁ = 0 , R ₁ = 0,04 , T ₁ = 0,96 } { A ₃ = 0 , R ₃ = 0,04 , T ₃ = 0,96 }.

Предположим, что внутренняя часть листа состоит из материала с коэффициентом поглощения Напьера k , равным 0,5 см. ⁻¹ , а толщина листа 1 мм ( d = 1 мм ). В этом случае при одном путешествии внутри страны, согласно закону Бугера-Ламберта, ${\textstyle T=\exp(-kd)}$, что по нашим предположениям дает ${\textstyle T=\exp(-0.5\ {\text{cm}}^{-1}\cdot 0.1\ {\text{cm}})=0.95}$ и ${\textstyle A=0.05}$. Таким образом, { A ₂ = 0,05 , R ₂ = 0 , T ₂ = 0,95 }.

Тогда одно из уравнений Бенфорда можно применить. Если A _x , R _x и T _x известны для слоя x и A _y R _y и T _y известны для слоя y , доли ART для образца, состоящего из слоя x и слоя y, составляют:

$T_{x+y}={\frac {T_{x}T_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}},\qquad$ $R_{x+y}=R_{x}+{\frac {T_{x}^{2}R_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}},\qquad$ $A_{x+y}=1-T_{x+y}-R_{x+y}$

(Символ $R_{(-x)}$ означает отражательную способность слоя $x$ когда направление освещения антипараллельно направлению падающего луча. Разница в направлении важна при работе с неоднородными слоями . Это соображение было добавлено Полом Кубелкой в ​​1954 году. Он также отметил, что передача не зависит от направления освещения, а поглощение и ремиссия — нет.)

Иллюстрация

Шаг 1: Мы принимаем слой 1 за x, а слой 2 за y. По нашим предположениям в этом случае { $R_{1}=R_{(-1)}=0.04,R_{2}=0,T_{1}=0.96,T_{2}=0.95$ }. $T_{x+y}={\frac {T_{x}T_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}}={\frac {(0.96)(0.95)}{1-(0.04)0}}=0.912\quad$ $R_{x+y}=R_{x}+{\frac {T_{x}^{2}R_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}}=0.04+{\frac {(0.96^{2})0}{1-(0.04)0}}=0.04\quad$ $R_{y+x}=R_{y}+{\frac {T_{y}^{2}R_{x}}{1-R_{(-y)}R_{x}}}=0+{\frac {(0.95^{2})(0.04)}{1-0(0.04)}}=0.0361$

Шаг 2: Мы принимаем результат шага 1 как значение нового x [ x — это старый x+y; (-x) — старый y+x], а значение слоя 3 — новый y.

$T_{x+y}={\frac {T_{x}T_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}}={\frac {(0.912)(0.96)}{1-(0.0361)(0.04)}}=0.877=T_{123}$ $R_{x+y}=R_{x}+{\frac {T_{x}^{2}R_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}}=0.04+{\frac {(0.912^{2})(0.04)}{1-(0.0361)(0.04)}}=.0733=R_{123}$

$A_{123}=1-R_{123}-T_{123}=1-0.877-.073=0.05$

Дам показал, что в этом особом случае общее количество света, поглощенное внутренней частью листа (с учетом поверхностной ремиссии), такое же, как и количество света, поглощенное за одно путешествие (независимо от поверхностной ремиссии). Это подтверждают расчеты.

Десятикратное поглощение ( ${\mathsf {\mathrm {A} b}}_{10}$) листа определяется: ${\mathsf {\mathrm {A} b}}_{10}=-log(1-A_{123})=0.0222$

Определение фракций A , R , T для n слоев

Формулы Стокса можно использовать для расчета фракций ART для любого количества слоев. Альтернативно их можно рассчитать путем последовательного применения уравнения Бенфорда для «еще одного слоя».

Если A ₁ , R ₁ и T ₁ известны для репрезентативного слоя образца, а , _An R n _и T n _{известны} для слоя, состоящего из n репрезентативных слоев, доли ART для слоя толщиной n + 1 :

$T_{n+1}={\frac {T_{n}T_{1}}{1-R_{n}R_{1}}},\qquad$ $R_{n+1}=R_{n}+{\frac {T_{n}^{2}R_{1}}{1-R_{n}R_{1}}},\qquad$ $A_{n+1}=1-T_{n+1}-R_{n+1}$

Иллюстрация

В приведенном выше примере { $A_{1}=0.05,R_{1}=0.0733,T_{1}=0.877$ }. В таблице представлены результаты многократного применения приведенных выше формул.

н	А	Р	Т
1	0.050	0.073	0.877
2	0.097	0.130	0.773
3	0.141	0.174	0.685
4	0.183	0.209	0.608
5	0.222	0.236	0.542
6	0.258	0.258	0.483
7	0.292	0.276	0.432
8	0.324	0.290	0.387
9	0.353	0.301	0.347
10	0.379	0.310	0.311
11	0.404	0.317	0.279
12	0.427	0.323	0.250
13	0.447	0.328	0.225
14	0.466	0.331	0.202
15	0.484	0.334	0.182
16	0.500	0.337	0.163

с поправкой на рассеяние. Поглощающая способность: поглощение образца

В однородной среде, такой как раствор, разброс отсутствует. В этом случае функция линейна как с концентрацией поглощающих веществ, так и с длиной пути. Кроме того, вклад отдельных поглощающих видов аддитивен. Для образцов, которые рассеивают свет, поглощение определяется как «отрицательный логарифм единицы минус поглощение (доля поглощения: $\alpha$) при измерении на однородном образце». Для десятичной абсорбции это может быть символизировано как: $\mathrm {A} _{10}=-log_{10}(1-\alpha )$ . Несмотря на то, что эта функция поглощения полезна для рассеивающих образцов, она не имеет тех же желательных характеристик, что и для нерассеивающих образцов. Однако существует свойство, называемое поглощающей способностью, которое можно оценить для этих образцов. Поглощающая способность единицы толщины материала, составляющего рассеивающий образец, такая же, как и поглощающая способность материала той же толщины в отсутствие рассеяния.

Иллюстрация

Предположим, что у нас есть образец, состоящий из 14 описанных выше листов, каждый из которых имеет поглощение 0,0222. Если мы сможем оценить поглощающую способность (поглощение образца той же толщины, но без разброса) по образцу, не зная, сколько листов находится в образце (как это было бы в общем случае), это будет иметь желательное свойство быть пропорциональным толщине. В этом случае мы знаем, что поглощающая способность (поглощение с поправкой на рассеяние) должна составлять: {14 x поглощение одного листа} $=(14)(0.0222)=0.312$ . Это значение, которое мы должны иметь для образца, если поглощение должно соответствовать закону Бугера (часто называемому законом Бера).

В таблице ниже мы видим, что образец имеет значения A,R,T для случая 14 листов в таблице выше. Из-за наличия разброса измеренная оптическая плотность образца будет равна: ${\mathsf {\mathrm {A} b}}_{10}=-log(1-A_{S})=-log(0.466)=0.2728$. Затем мы вычисляем это значение для половины толщины образца, используя другое уравнение Бенфорда. Если известны Ad _то , Rd _: и Td _, для слоя толщиной d доли ART для слоя толщиной d /2 равны

$R_{d/2}={\frac {R_{d}}{1+T_{d}}},\qquad$ $T_{d/2}={\sqrt {T_{d}(1-R_{d/2}^{2})}},\qquad$ $A_{d/2}=1-T_{d/2}-R_{d/2},$

В строке для половины выборки [S/2] мы видим значения, такие же, как и для 7 слоев в таблице выше, как мы и ожидали. Обратите внимание, что $-log(1-A_{S/2})=-log(1-0.292)=0.150$. Мы хотим, чтобы поглощение было линейным в зависимости от толщины образца, но мы обнаруживаем, что, умножив это значение на 2, мы получаем $(2)(0.150)=0.300$ , что существенно отличается от предыдущей оценки поглощающей способности.

Следующая итерация формулы дает оценку A,R,T для четверти выборки: $-log(1-0.162)\times 4=0.307$. Обратите внимание, что на этот раз расчет соответствует трем с половиной слоям — толщине образца, которая не может существовать физически.

Продолжая последовательно старшие степени двойки, мы видим монотонно возрастающую оценку. Со временем числа начнут прыгать с ошибкой округления, но можно остановиться, получив постоянное значение для заданного количества значащих цифр. В этом случае мы становимся постоянными до 4 значащих цифр при 0,3105, что является нашей оценкой поглощающей способности образца. Это соответствует нашему целевому значению 0,312, определенному выше.

	А	Р	Т	поглощающий мощности Оценка
С	0.466	0.331	0.202	0.273
С/2	0.292	0.276	0.432	0.300
С/4	0.162	0.192	0.645	0.307
С/8	0.085	0.117	0.798	0.3099
С/16	0.044	0.0651	0.891	0.3104
С/32	0.022	0.0344	0.943	0.3105
С/64	0.011	0.0177	0.971	0.3105

Представление смесей частиц в виде слоев

Если кто-то хочет использовать теорию, основанную на плоскопараллельных слоях, оптимально образцы можно было бы описать как слои. Но образец частиц часто выглядит как беспорядочный лабиринт из частиц разных размеров и форм, не демонстрирующий какой-либо структурированной структуры и, конечно же, не разделенный буквально на отдельные, идентичные слои. Тем не менее, принцип теории репрезентативных слоев заключается в том, что для спектроскопических целей мы можем рассматривать сложный образец так, как если бы он был серией слоев, каждый из которых представляет образец в целом.

Определение репрезентативного слоя

Чтобы быть репрезентативным, слой должен соответствовать следующим критериям:

• Объемная доля каждого типа частиц в представительном слое одинакова, как и в образце в целом.

• Доля площади поверхности каждого типа частиц одинакова в репрезентативном слое и в образце в целом.

• Пустота репрезентативного слоя такая же, как и в образце.

• Репрезентативный слой нигде не имеет толщины более одной частицы. Обратите внимание, что это означает, что «толщина» репрезентативного слоя неоднородна. Этот критерий введен для того, чтобы мы могли предположить, что данный фотон света имеет только одно взаимодействие со слоем. В результате этого взаимодействия он может передаваться, излучаться или поглощаться, но предполагается, что он не взаимодействует со второй частицей внутри того же слоя.

В приведенном выше обсуждении, когда мы говорим о «типе» частицы, мы должны четко различать частицы разного состава. Кроме того, однако, мы должны различать частицы разного размера. Напомним, что рассеяние рассматривается как поверхностное явление, а поглощение — как происходящее на молекулярном уровне по всей частице. Следовательно, мы ожидаем, что вклад «типа» частицы в поглощение будет пропорционален объемной доле этой частицы в образце, а вклад «типа» частицы в рассеяние будет пропорционален площади поверхности. долю этой частицы в образце. Вот почему наши критерии «репрезентативного слоя», приведенные выше, включают как объемную долю, так и долю площади поверхности. Поскольку мелкие частицы имеют большее отношение площади поверхности к объему, чем крупные частицы, необходимо различать их.

Определение спектроскопических свойств представительного слоя

В соответствии с этими критериями мы можем предложить модель поглощения фракций падающего света ( $A_{1}$), переведено ( $R_{1}$), и передается ( $T_{1}$) одним репрезентативным слоем.

$A_{1}=\sum S_{j}(1-exp(-k_{j}d_{j}))$ , $R_{1}=\sum S_{j}b_{j}d_{j}$ , $T_{1}=1-R_{1}-T_{1}$

в котором:

• $S_{j}$ представляет собой долю площади поперечного сечения, занимаемую частицами типа $j$.

• $K_{j}$ – эффективный коэффициент поглощения частиц типа $j$.

• $b_{j}$ – коэффициент ремиссии для частиц типа $j$.

• $d_{j}$ — толщина частицы типа $j$ в направлении падающего луча.

• Суммирование проводится по всем различным «типам» частиц.

По сути, $S_{j}$представляет собой долю света, которая будет взаимодействовать с частицей типа $j$, и $K_{j}$и $b_{j}$ количественно оценить вероятность того, что взаимодействие приведет к абсорбции и ремиссии соответственно.

Доли площади поверхности и объемные доли для каждого типа частиц можно определить следующим образом:

$v_{i}={\frac {\frac {w_{i}}{\rho _{i}}}{\sum {\frac {w_{j}}{\rho _{j}}}}}$ , $s_{i}={\frac {\frac {w_{i}}{\rho _{i}d_{i}}}{\sum {\frac {w_{j}}{\rho _{j}d_{j}}}}}$ , $V_{i}=(1-v_{0})v_{i}$ , $S_{i}=(1-v_{0})s_{i}$

в котором:

• $w_{i}$ – массовая доля частиц типа i в образце.

• $v_{i}$ – доля занимаемого объема, состоящая из частиц типа i.

• $s_{i}$ представляет собой долю площади поверхности частиц, состоящую из частиц типа i.

• $V_{i}$ – доля общего объема, состоящая из частиц типа i.

• $S_{i}$ представляет собой долю площади поперечного сечения, состоящую из частиц типа i.

• $\rho _{i}$ – плотность частиц типа i.

• $v_{0}$ – пустотная доля образца.

Это логический способ связать спектроскопическое поведение «репрезентативного слоя» со свойствами отдельных частиц, составляющих этот слой. Значения коэффициентов абсорбции и ремиссии представляют собой проблему в этом подходе к моделированию. Поглощение рассчитывается на основе доли света, падающего на каждый тип частиц, и расчета поглощения каждым типом частиц в соответствии с законом Бера, поэтому значения $K_{i}$Используемый метод должен в идеале моделировать способность частицы поглощать свет независимо от других процессов (рассеяния, ремиссии), которые также происходят. В разделе выше мы называли это поглощающей способностью.

Список используемых основных символов

Если данная буква используется как в заглавной, так и в строчной форме ( r , R и t , T ), заглавная буква относится к макроскопической наблюдаемой, а строчная буква — к соответствующей переменной для отдельной частицы или слоя материала. Греческие символы используются для обозначения свойств отдельной частицы.

• $a$ – доля поглощения одного слоя
• $r$ – фракция ремиссии одного слоя
• $t$ – доля пропускания одного слоя
• An _{– фракции поглощения, ремиссии} , R _n , T _n и пропускания для образца, состоящего из n слоев.
• α – доля поглощения частицы
• β – обратное рассеяние от частицы
• σ – изотропное рассеяние на частице
• $k$– коэффициент поглощения, определяемый как доля падающего света, поглощаемого очень тонким слоем, деленная на толщину этого слоя.
• $s$ – коэффициент рассеяния, определяемый как доля падающего света, рассеянного очень тонким слоем, деленная на толщину этого слоя.