Отношение Лежандра

В математике соотношение Лежандра может быть выражено в одной из двух форм: как отношение между полными эллиптическими интегралами или как отношение между периодами и квазипериодами эллиптических функций . Эти две формы эквивалентны, поскольку периоды и квазипериоды могут быть выражены через полные эллиптические интегралы. Оно было введено (для полных эллиптических интегралов) А. М. Лежандром ( 1811 , 1825 , с. 61).

Полные эллиптические интегралы

Соотношение Лежандра, сформулированное с использованием полных эллиптических интегралов, имеет вид

$K'E+KE'-KK'={\frac {\pi }{2}}$

где K и K ′ — полные эллиптические интегралы первого рода для значений, удовлетворяющих k ² + к ′ ² = 1 , а E и E ′ — полные эллиптические интегралы второго рода.

Эта форма соотношения Лежандра выражает тот факт, что вронскиан полных эллиптических интегралов (рассматриваемых как решения дифференциального уравнения) является константой.

Эллиптические функции

Соотношение Лежандра, сформулированное с использованием эллиптических функций, имеет вид

$\omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,$

где ω ₁ и ω ₂ — периоды эллиптической функции Вейерштрасса , а η ₁ и η ₂ — квазипериоды дзета-функции Вейерштрасса . Некоторые авторы нормализуют их по-другому, различаясь в 2 раза, и в этом случае правая часть соотношения Лежандра равна π i или π i / 2. Это соотношение можно доказать путем интегрирования дзета-функции Вейерштрасса относительно границы Коши фундаментальная область и применение теоремы о вычетах .

Доказательство

Доказательство лемнискатического случая.

Лемнискатический арксинус и дополнительный лемнискатический арксинус определяются следующим образом:

$\operatorname {arcsl} (r)=\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}$

$\operatorname {arcsl} ^{*}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {1+\rho ^{2}}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\sqrt {2}}\,E{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}$

И эти производные действительны:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} (r)={\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} ^{*}(r)={\frac {1+r^{2}}{\sqrt {1-r^{4}}}}={\biggl (}{\frac {1+r^{2}}{1-r^{2}}}{\biggr )}^{1/2}$

Лемнискатический случай тождества Лежандра можно показать следующим образом:

Дана следующая формула, в которой в качестве первообразных используются функции лемнискатических дуг:

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-{\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y$

Построив исходную первообразную по x, получим такую ​​формулу:

$\operatorname {arcsl} (x){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-\operatorname {arcsl} (x){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}\operatorname {artanh} (y^{2})-\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y$

Поставив значение $x=1$ в эту формулу генерируется следующий результат:

$\operatorname {arcsl} (1){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(1)-\operatorname {arcsl} (1){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}$

Из-за идентичности функций K, F и E эту формулу можно вывести непосредственно из этого результата:

$K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl [}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {\pi }{2}}$

Доказательство общего случая

Согласно только что выполненному выводу, приведенный выше результат действителен и отображается здесь в суммированном виде:

$2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}$

Теперь модульный общий случай необходимо доказать следующим образом. Для этого выводятся производные полных эллиптических интегралов. И тогда определяется вывод баланса идентичности Лежандра.

Доказательство производной эллиптического интеграла первого рода:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon (1-2x^{2}+\varepsilon ^{2}x^{4})}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=$

$={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}E(\varepsilon )-{\frac {1}{\varepsilon }}K(\varepsilon )-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\varepsilon x{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}$

Доказательство производной эллиптического интеграла второго рода:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=$

$=-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}$

Для пифагорейских контрмодулей и согласно правилу цепочки справедливо это соотношение:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

Потому что производная функции круга является отрицательным произведением так называемой идентичной функции и обратной функции круга. Соотношение Лежандра всегда включает произведения двух полных эллиптических интегралов. Для вывода стороны функции из шкалы уравнения тождества Лежандра правило произведения теперь применяется в следующем:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}$

Из этих трех уравнений сложение двух верхних уравнений и вычитание нижнего уравнения дает следующий результат:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0$

По отношению к ε весы постоянно дают нулевое значение.

Ранее определенный результат применяется к модулю $\varepsilon =1/{\sqrt {2}}$ таким образом:

$2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}$

Комбинация последних двух формул дает следующий результат:

$K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\pi }{2}}$

Потому что если производная непрерывной функции постоянно принимает нулевое значение, то рассматриваемая функция является постоянной функцией. Это означает, что эта функция дает одно и то же значение функции для каждого значения абсцисс ε, и поэтому соответствующий график функции представляет собой горизонтальную прямую линию.

Ссылки

• Дюрен, Питер (1991), «Соотношение Лежандра для эллиптических интегралов», Юинг, Джон Х.; Геринг, Ф.В. (ред.), Пол Халмос. Празднование 50-летия математики , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 305–315 , doi : 10.1007/978-1-4612-0967-6_32 , ISBN.  0-387-97509-8 , МР   1113282
• Карацуба, Э.А.; Вуоринен, М. (2001), «О гипергеометрических функциях и обобщениях соотношения Лежандра», J. Math. Анальный. Прил. , 260 (2): 623–640, МР   1845572
• Лежандр, AM (1811), Упражнения по интегральному исчислению различных порядков трансцендентов и квадратур , том. я, Париж
• Лежандр, AM (1825), Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах , вып. я, Париж