Водовороты Моффатта

Вихри Моффата — это последовательности вихрей , которые развиваются в углах, ограниченных плоскими стенками (или иногда между стеной и свободной поверхностью) из-за произвольного возмущения, действующего на асимптотически больших расстояниях от угла. Хотя источником движения являются произвольные возмущения на больших расстояниях, вихри развиваются совершенно независимо, и поэтому решение этих вихрей возникает из проблемы собственных значений - автомодельного решения второго рода.

Водовороты названы в честь Кита Моффата , который обнаружил эти водовороты в 1964 году. хотя некоторые результаты были получены уже Уильямом Реджинальдом Дином и П.Е. Монтаньоном в 1949 году. Лорд Рэлей также изучал проблему течения вблизи угла с однородными граничными условиями в 1911 году. Вихри Моффатта внутри конусов решены П. Н. Шанкаром .

Описание потока

Вблизи угла поток можно считать потоком Стокса . Описание двумерной плоской задачи цилиндрическими координатами $(r,\theta )$ с компонентами скорости $(u_{r},u_{\theta })$ определяется функцией потока такой, что

$u_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad u_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

Можно показать, что основное уравнение представляет собой просто бигармоническое уравнение $\nabla ^{4}\psi =0$. Уравнение приходится решать с однородными граничными условиями (условия взяты для двух стенок, разделенных углом $2\alpha$)

${\begin{aligned}r>0,\ \theta =-\alpha :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0\\r>0,\ \theta =\alpha :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0.\end{aligned}}$

Соскребающий поток Тейлора аналогичен этой задаче, но имеет неоднородное граничное условие. Решение получается путем разложения по собственным функциям:

$\psi =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}r^{\lambda _{n}}f_{\lambda _{n}}(\theta )$

где $A_{n}$ являются константами и действительная часть собственных значений всегда больше единицы. Собственные значения $\lambda _{n}$ будет функцией угла $\alpha$, но независимо от этого собственные функции можно записать для любого $\lambda$,

${\begin{aligned}f_{0}&=A+B\theta +C\theta ^{2}+D\theta ^{3},\\f_{1}&=A\cos \theta +B\sin \theta +C\theta \cos \theta +D\theta \sin \theta ,\\f_{2}&=A\cos 2\theta +B\sin 2\theta +C\theta +D,\\f_{\lambda }&=A\cos \lambda \theta +B\sin \lambda \theta +C\cos(\lambda -2)\theta +D\sin(\lambda -2)\theta ,\quad \lambda \geq 2.\end{aligned}}$

Для антисимметричного решения собственная функция четна и, следовательно, $B=D=0$ а граничные условия требуют $\sin 2(\lambda -1)\alpha =-(\lambda -1)\sin 2\alpha$. Уравнения не имеют действительных корней, если $2\alpha <146$°. Эти комплексные собственные значения действительно соответствуют вихрям Моффатта. Комплексное собственное значение, если оно задано формулой $\lambda _{n}=1+(2\alpha )^{-1}(\xi _{n}+i\eta _{n})$ где

${\begin{aligned}\sin \xi \cosh \eta &=-k\xi ,\\\cos \xi \sinh \xi &=-k\eta .\end{aligned}}$

Здесь $k=\sin 2\alpha /2\alpha$.

См. также

• Соскребающий поток Тейлора