Гессенская пара
В математике гессианская пара или гессианская дуада , названная в честь Отто Гессе , — это пара точек проективной прямой, канонически связанная с набором из 3 точек проективной прямой. В более общем смысле, можно определить гессианскую пару любой тройки элементов из набора, который можно отождествить с проективной линией, такой как рациональная кривая, пучок делителей, пучок прямых и т. д.
Определение
[ редактировать ]Если { A , B , C } — набор из 3 различных точек проективной прямой, то пара Гессе — это набор { P , Q } из двух точек, который может быть определен любым из следующих свойств:
- P и Q — корни гессиана бинарной кубической формы с A , B , C. корнями
- P и Q зафиксированные уникальным проективным преобразованием, переводящим A в B , B в C и C в A. — две точки ,
- P и Q — это две точки, которые при добавлении к A , B , C образуют эквиангармонический набор (набор из 4 точек с перекрестным отношением, кубическим корнем из 1).
- P и Q — образы 0 и ∞ при проективном преобразовании, переводящем три кубических корня из 1 A , B , C. в
Примеры
[ редактировать ]Точки Гессе можно использовать для решения кубических уравнений следующим образом. Если A , B , C — три корня кубики, то точки Гессе можно найти как корни квадратного уравнения. Если затем точки Гессе преобразуются в 0 и ∞ дробным линейным преобразованием, кубическое уравнение преобразуется к одному из видов x 3 = Д.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Эдж, WL (1978), «Кривая Бринга», Журнал Лондонского математического общества , 18 (3): 539–545, doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.539 , ISSN 0024-6107 , MR 0518240
- Иноуэ, Наоки; Като, Фумихару (2005), «О геометрии секстика Вимана» , Журнал математики Киотского университета , 45 (4): 743–757, doi : 10.1215/kjm/1250281655 , ISSN 0023-608X , MR 2226628