Функция управления (эконометрика)

Функции управления (также известные как двухэтапное остаточное включение ) являются статистическими методами для исправления задач эндогенности путем моделирования эндогенности в термине ошибки . Таким образом, подход важным образом отличается от других моделей, которые пытаются объяснить ту же эконометрическую проблему. Инструментальные переменные , например, пытаются моделировать эндогенную переменную x часто инвертируемую модель по отношению к соответствующему и экзогенному прибору Z. как Анализ панели использует специальные свойства данных, чтобы различить ненаблюдаемую неоднородность, которая предполагается, что со временем фиксировано.

Функции управления были введены Heckman и Robb Хотя принцип можно проследить до более ранних документов. Особая причина, по которой они популярны, заключается в том, что они работают для неверных моделей (таких как модели дискретного выбора ) и обеспечивают гетерогенные эффекты, где эффекты на индивидуальном уровне могут отличаться от эффектов в совокупности. Хорошо известным примером подхода функции управления является коррекция Хекмана .

Формальное определение

Предположим, что мы начинаем с стандартной эндогенной настройки переменной с аддитивными ошибками, где x является эндогенной переменной, а z - экзогенная переменная, которая может служить инструментом.

$Y=g(X)+U$ ( 1 )

$X=\pi (Z)+V$ ( 2 )

$E[U\mid Z,V]=E[U\mid V]$ ( 3 )

$E[V\mid Z]=0$ ( 4 )

Популярным подходом инструментальной переменной является использование двухэтапной процедуры и уравнения оценки ( 2 ) сначала, а затем использовать оценки этого первого шага для оценки уравнения ( 1 ) на втором этапе. Функция управления, однако, использует, что эта модель подразумевает

$E[Y\mid Z,V]=g(X)+E[U\mid Z,V]=g(X)+E[U\mid V]=g(X)+h(V)$ ( 5 )

Функция h ( v ) фактически является управляющей функцией, которая моделирует эндогенность и откуда этот эконометрический подход придает свое название.

В рамках потенциальных результатов причинно -следственной связи , где y ₁ является переменной результата людей для того, кто индикатор участия D равен 1, подход функции управления приводит к следующей модели

$E[Y_{1}\mid X,Z,D=1]=\mu _{1}(X)+E[U\mid D=1]$ ( 6 )

до тех пор, пока потенциальные результаты y ₀ и y ₁ не зависят от D, условных на x и z .

Коррекция дисперсии

Поскольку регрессия второй стадии включает в себя сгенерированные регрессоры , ее матрица дисперсии-ковариации должна быть скорректирована.

Примеры

Эндогенность в регрессии Пуассона

Wooldridge и Terza предоставляют методологию как для борьбы с эндогенности, в рамках рамки экспоненциальной регрессии, что следует за следующим обсуждением. В то время как пример посвящен модели регрессии Пуассона , можно обобщить на другие модели экспоненциальной регрессии, хотя это может быть затрат на дополнительные предположения (например, для бинарного отклика или цензурированных моделей данных).

Предположите следующую экспоненциальную регрессионную модель, где $a_{i}$ является ненаблюдаемым термином в скрытой переменной. Мы допускаем корреляцию между $a_{i}$ и $x_{i}$ (подразумевает $x_{i}$ возможно эндоген), но не допускайте такой корреляции между $a_{i}$ и $z_{i}$.

$\operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},a_{i}]=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+a_{i})$

Переменные $z_{i}$ служить инструментальными переменными для потенциально эндогенного $x_{i}$Полем Можно предположить линейную связь между этими двумя переменными или альтернативно проецировать эндогенную переменную $x_{i}$ на инструменты, чтобы получить следующее уравнение уменьшенного формы:

$x_{i}=z_{i}\Pi +v_{i}$ ( 1 )

Обычное состояние ранга необходимо для обеспечения идентификации. Эндогенность затем смоделируется следующим образом, где $\rho$ определяет серьезность эндогенности и $v_{i}$ предполагается, что не зависит от $e_{i}$.

$a_{i}=v_{i}\rho +e_{i}$

Навязывая эти предположения, предполагая, что модели правильно указаны и нормализуют $\operatorname {E} [\exp(e_{i})]=1$, мы можем переписать условное значение следующим образом:

$\operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},v_{i}]=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+v_{i}\rho )$ ( 2 )

Если $v_{i}$ Были известны на этом этапе, было бы возможно оценить соответствующие параметры по квази-максимальной оценке правдоподобия (QMLE). Следуя двухэтапным стратегиям процедуры, Вулдридж и Терза предлагают оценку уравнения ( 1 ) с помощью обычных наименьших квадратов . Приспособленные остатки от этой регрессии могут затем быть подключены к методам оценки ( 2 ), и методы QMLE приведут к последовательным оценкам интересующих параметров. Значительность тестов на ${\hat {\rho }}$ Затем можно использовать для тестирования на эндогенность в модели.

Расширения

Первоначальная процедура Heckit делает распределительные предположения об терминах ошибок, однако были установлены более гибкие подходы к оценке с более слабыми распределительными допущениями. Кроме того, Blundell и Powell показывают, как подход функции управления может быть особенно полезным в моделях с неаддитивными ошибками , такими как модели дискретного выбора. Этот последний подход, однако, косвенно делает сильные предположения о распределении и функциональной форме.

Смотрите также

• Двухступенчатые наименьшие квадраты -техника на страницах статистики, отображающие короткие описания целей перенаправления
• Коррекция Хекмана - статистическая техника, исправляя смещение отбора проб

Дальнейшее чтение

• Го, Зидзиан; Small, Dylan S. (2016). «Функция управления инструментальной оценкой переменных нелинейных моделей причинного эффекта» . Журнал исследований машинного обучения . 17 (100): 1–35. Arxiv : 1602.01051 .
• Вулдридж, Джеффри М. (2015). «Методы управления в прикладной эконометрике». Журнал человеческих ресурсов . 50 (2): 420–445. doi : 10.3368/jhr.50.2.420 . S2CID   119604644 .