Теорема Бирлейна о продолжении меры

Теорема Бирлейна о расширении меры является результатом теории меры и теории вероятностей расширений вероятностных мер . Теорема утверждает, когда можно расширить вероятностную меру до большей σ-алгебры . Особый интерес это представляет для бесконечномерных пространств.

Теорема названа в честь немецкого математика Дитриха Бирляйна , доказавшего утверждение для счетных семейств в 1962 году. Общий случай был показан Альбертом Ашерлем и Юргеном Леном в 1977 году.

Теорема Бирлейна о продолжении меры.

Позволять $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ быть вероятностным пространством и ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ — σ-алгебра, то, вообще говоря, $\mu$ не может быть распространено на $\sigma ({\mathcal {A}}\cup {\mathcal {S}})$. Например, когда ${\mathcal {S}}$ счетно бесконечно, это не всегда возможно. Теорема о расширении Бирлейна утверждает, что это всегда возможно для непересекающихся семейств.

Формулировка теоремы

Теорема Бирлейна о продолжении меры:

Позволять $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ быть вероятностным пространством, $I$ произвольный набор индексов и $(A_{i})_{i\in I}$ семейство непересекающихся множеств из $X$. Тогда существует расширение $\nu$ из $\mu$ на $\sigma ({\mathcal {A}}\cup \{A_{i}\colon i\in I\})$.

Связанные результаты и обобщения

Бирляйн дал результат, в котором говорится о единственности расширения. Ашерль и Лен дали условие эквивалентности.

Збигнев Липецкий доказал в 1979 году вариант утверждения для групповых мер (т.е. для мер со значениями в «топологической хаусдорфовой группе»).