Уравнение Карлемана

В математике — уравнение Карлемана интегральное уравнение Фредгольма первого рода с логарифмическим ядром . Ее решение было впервые предложено Торстеном Карлеманом в 1922 году. Уравнение

$\int _{a}^{b}\ln |x-t|\,y(t)\,dt=f(x)$

Решение для b − a ≠ 4:

$y(x)={\frac {1}{\pi ^{2}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}\left[\int _{a}^{b}{\frac {{\sqrt {(t-a)(b-t)}}f'_{t}(t)\,dt}{t-x}}+{\frac {1}{\ln \left[{\frac {1}{4}}(b-a)\right]}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)\,dt}{\sqrt {(t-a)(b-t)}}}\right]$

Если b − a = 4, то уравнение разрешимо только при выполнении следующего условия

$\int _{a}^{b}{\frac {f(t)\,dt}{\sqrt {(t-a)(b-t)}}}=0$

В этом случае решение имеет вид

$y(x)={\frac {1}{\pi ^{2}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}\left[\int _{a}^{b}{\frac {{\sqrt {(t-a)(b-t)}}f'_{t}(t)\,dt}{t-x}}+C\right]$

где C — произвольная константа.

Для специального случая f ( t ) = 1 (в этом случае необходимо, чтобы b − a ≠ 4), полезного в некоторых приложениях, мы получаем

$y(x)={\frac {1}{\pi \ln \left[{\frac {1}{4}}(b-a)\right]}}{\frac {1}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}}$

Ссылки

• КАРЛЕМАН, Т. (1922) Об абелевом интегральном уравнении с постоянными пределами интегрирования. Матем. З., 15, 111–120.
• Гахов Ф.Д., Краевые задачи, Наука, Москва, 1977.
• А.Д. Полянин и А.В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN   0-8493-2876-4