Тороидальные и полоидальные координаты

О векторных полях см. Тороидально-полоидальное разложение .

Диаграмма, изображающая полоидальное ( θ ) направление, представленное красной стрелкой, и тороидальное ( ζ или φ ) направление, представленное синей стрелкой.

Термины тороидальный и полоидальный относятся к направлениям относительно тора отсчета. Они описывают трехмерную систему координат , в которой полоидальное направление следует за небольшим круговым кольцом вокруг поверхности, а тороидальное направление следует за большим круговым кольцом вокруг тора, окружающим центральную пустоту.

Самое раннее использование этих терминов, цитируемое Оксфордским словарем английского языка, принадлежит Уолтеру М. Эльзассеру (1946) в контексте генерации магнитного поля Земли токами в ядре, при этом «тороидальность» параллельна линиям широты и «тороидальность». полоидальный» находится в направлении магнитного поля (т.е. к полюсам ).

OED также фиксирует более позднее использование этих терминов в контексте тороидально удерживаемой плазмы, которая встречается при термоядерном синтезе с магнитным удержанием . В контексте плазмы тороидальное направление — это длинный путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается z в приближении плиты или ζ или φ в магнитных координатах; полоидальное направление - это короткий путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается y в приближении плиты или θ в магнитных координатах. (Третье направление, нормальное к магнитным поверхностям, часто называют «радиальным направлением», обозначаемым x в приближении плиты и по-разному ψ , χ , r , ρ или s в магнитных координатах.)

Пример

В качестве простого примера из физики магнитно-удерживаемой плазмы рассмотрим осесимметричную систему с круглыми концентрическими поверхностями магнитного потока радиусом $r$ (грубое приближение к геометрии магнитного поля в раннем токамаке , но топологически эквивалентное любой тороидальной системе магнитного удержания с вложенными поверхностями магнитного потока) и обозначим тороидальный угол через $\zeta$ и полоидальный угол $\theta$.Тогда тороидальная/полоидальная система координат соотносится со стандартными декартовыми координатами следующими правилами преобразования:

$x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta$

$y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta$

$z=s_{\theta }r\sin \theta .$

где $s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1$.

Естественный выбор с геометрической точки зрения состоит в том, чтобы взять $s_{\theta }=s_{\zeta }=+1$, давая тороидальное и полоидальное направления, показанные стрелками на рисунке выше, но это делает $r,\theta ,\zeta$ левая криволинейная система координат. Как обычно предполагается при задании координат потока для описания магнитоудерживаемой плазмы, набор $r,\theta ,\zeta$ образует правую систему координат, $\nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0$, мы должны либо изменить полоидальное направление, взяв $s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1$, или поменяйте тороидальное направление, взяв $s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1$. Оба варианта используются в литературе.

Кинематика

Для изучения движения одиночной частицы в плазменных устройствах с тороидальным удержанием необходимо знать векторы скорости и ускорения. Учитывая естественный выбор $s_{\theta }=s_{\zeta }=+1$, орты тороидальной и полоидальной системы координат $\left(r,\theta ,\zeta \right)$ может быть выражено как:

$\mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}$

по декартовым координатам. Вектор положения выражается как:

$\mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }$

Тогда вектор скорости определяется выражением:

$\mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }$

а вектор ускорения равен:

${\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{aligned}}$

См. также

• Тороидальные координаты
• Тор
• Зональный и полоидальный
• Полоидально-тороидальный распад
• Зональный поток (плазма)

Ссылки

• «Оксфордский онлайн-словарь английского языка» . полоидальный . Издательство Оксфордского университета . Проверено 10 августа 2007 г.
• Эльзассер, WM (1946). «Эффекты индукции в земном магнетизме, часть I. Теория» . Физ. Преподобный . 69 (3–4): 106–116. дои : 10.1103/PhysRev.69.106 . Проверено 10 августа 2007 г.