Вириальный стресс

Вириальное напряжение — это мера механического напряжения в атомном масштабе для однородных систем. Название происходит от латинского слова vis , что означает силу: «Вириал также происходит от латинского слова, происходящего от слова virias (множественное число от vis), означающего силы». ^[1] Выражение (локального) вириального напряжения можно получить как функциональную производную свободной энергии молекулярной системы по отношению к тензору деформации . ^[2]

Усредненный объем Определение

Мгновенное усредненное по объему вириальное напряжение определяется выражением

\tau _{ij}={\frac {1}{\Omega }}\sum _{k\in \Omega }\left(-m^{(k)}(u_{i}^{(k)}-{\bar {u}}_{i})(u_{j}^{(k)}-{\bar {u}}_{j})+{\frac {1}{2}}\sum _{\ell \in \Omega }(x_{i}^{(\ell )}-x_{i}^{(k)})f_{j}^{(k\ell )}\right)

где

$k$ и $\ell$ являются атомами в домене,
$\Omega$ объем домена,
$m^{(k)}$ - масса атома k ,
$u_{i}^{(k)}$ это я ^й составляющая скорости атома k ,
${\bar {u}}_{j}$ это Дж ^й составляющая средней скорости атомов в объеме,
$x_{i}^{(k)}$ это я ^й компонент положения атома k и
$f_{i}^{(k\ell )}$ это я ^й составляющая силы, действующей на атом $k$ по атому $\ell$ .

При нуле Кельвина все скорости равны нулю, поэтому мы имеем

\tau _{ij}={\frac {1}{2\Omega }}\sum _{k,\ell \in \Omega }(x_{i}^{(\ell )}-x_{i}^{(k)})f_{j}^{(k\ell )}

.

Это можно представить следующим образом. Компонент напряжения τ ₁₁ представляет собой силу в направлении x ₁ , деленную на площадь плоскости, перпендикулярной этому направлению. Рассмотрим два смежных объема, разделенных такой плоскостью. 11-компонент напряжения на этом интерфейсе представляет собой сумму всех парных сил между атомами с двух сторон.

В этом случае усредненное по объему вириальное напряжение представляет собой среднее по ансамблю мгновенного усредненного по объему вириального напряжения.

В трехмерной изотропной системе в состоянии равновесия «мгновенное» атомное давление обычно определяется как среднее по диагоналям отрицательного тензора напряжений:

{\mathcal {P}}_{at}=-{\frac {1}{3}}Tr(\tau ).

Тогда давление представляет собой среднее по ансамблю мгновенного давления. ^[3]

P_{at}=\langle {\mathcal {P}}_{at}\rangle .

Это давление является средним давлением в объёме $\Omega$ .

Эквивалентное определение

Стоит отметить, что некоторые статьи и учебник ^[3] используйте немного другую, но эквивалентную версию уравнения

\tau _{ij}={\frac {1}{\Omega }}\sum _{k\in \Omega }\left(-m^{(k)}(u_{i}^{(k)}-{\bar {u}}_{i})(u_{j}^{(k)}-{\bar {u}}_{j})-{\frac {1}{2}}\sum _{\ell \in \Omega }x_{i}^{(k\ell )}f_{j}^{(k\ell )}\right)

где $x_{i}^{(k\ell )}$ это я ^й компонента вектора, ориентированная от $\ell$ ^й атомы к k ^й рассчитывается через разницу

$x_{i}^{k\ell }=x_{i}^{(k)}-x_{i}^{(\ell )}$

Поскольку оба уравнения строго эквивалентны, определение вектора все равно может привести к путанице.

Вывод

Вириальное давление можно определить, используя теорему вириала и силы разделения между частицами и контейнером. ^[4] или, альтернативно, путем прямого применения определяющего уравнения $P=-{\frac {\partial F(N,V,T)}{\partial V}}$ и использование масштабированных координат в расчетах.

Неоднородные системы

Если система неоднородна в данном объеме, указанное выше (усредненное по объему) давление не является хорошей мерой давления. В неоднородных системах давление зависит от положения и ориентации поверхности, на которую действует давление. Поэтому в неоднородных системах необходимо определение локального давления. ^[5] В качестве общего примера системы с неоднородным давлением можно представить давление в атмосфере Земли, которое меняется с высотой .

Мгновенный локальный вириальный стресс

(Локальный) мгновенный вириальный стресс определяется по формуле: ^[2]

$\tau _{ab}({\vec {r}})=-\sum _{i=1}^{N}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}^{(i)})\left(m^{(i)}u_{a}^{(i)}u_{b}^{(i)}+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1,j\neq i}^{N}({\vec {r}}^{(i)}-{\vec {r}}^{(j)})_{a}{\vec {f}}_{b}^{(ij)}\right),$

Измерение вириального давления в молекулярном моделировании

Вириальное давление можно измерить с помощью приведенных выше формул или с помощью пробных шагов масштабирования объема. ^[6]

См. также

Теорема Вириала

Ссылки

^ Васалвар, Яш (23 мая 2023 г.). «В центре внимания: теорема вириала» . Середина. Архивировано из оригинала 3 февраля 2024 года.
^ Jump up to: ^а ^б Моранте С., Г.К. Росси и М. Теста. «Тензор напряжений молекулярной системы: упражнение по статистической механике». Журнал химической физики 125.3 (2006): 034101, http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.2214719 .
^ Jump up to: ^а ^б Аллен, член парламента; Тилдесли, диджей (1991). Кларендон Пресс (ред.). Компьютерное моделирование жидкостей . Оксфорд. стр. 46–50. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Навет, М.; Джамин, Э.; Фейкс, MR (1 февраля 1980 г.). « Вириальное» давление классической однокомпонентной плазмы» . Журнал Physique Lettres . 41 (3): 69–73. doi : 10.1051/jphyslet:0198000410306900 . ISSN 0302-072X . S2CID 122678419 .
^ Луазон, Клэр (2005). Численное моделирование смектической пластинчатой фазы амфифильных молекул . Кювилье Верлаг. ISBN 978-3-86537-655-8 .
^ Мигель, Энрике де; Джексон, Джордж (30 октября 2006 г.). «Природа расчета давления при молекулярном моделировании непрерывных моделей по объемным возмущениям». Журнал химической физики . 125 (16): 164109. Бибкод : 2006JChPh.125p4109D . дои : 10.1063/1.2363381 . hdl : 10272/9584 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 17092065 .

Внешние ссылки

Физическая интерпретация усредненного по объему вириального напряжения
Аллен, член парламента; Тилдесли, диджей. Компьютерное моделирование жидкостей (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2016 г.
Издание 2017 г. (второе): Аллен, Майкл Патрик; Тилдесли, Доминик Дж. (2017). Компьютерное моделирование жидкостей (PDF) (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198803201 . Архивировано (PDF) из оригинала 26 ноября 2022 г.
Примеры кода Python и Fortran для компьютерного моделирования жидкостей
Чжоу, Мин (8 сентября 2003 г.). «Новый взгляд на вириальный стресс на атомном уровне: об эквивалентности континуум-молекулярной системы» (PDF) . Труды Лондонского королевского общества. Серия А: Математические, физические и технические науки . 459 (2037): 2347–2392. дои : 10.1098/rspa.2003.1127 . ISSN 1364-5021 . Архивировано (PDF) из оригинала 3 февраля 2024 г.

[1] Васалвар, Яш (23 мая 2023 г.). «В центре внимания: теорема вириала» . Середина. Архивировано из оригинала 3 февраля 2024 года.

[morante06-2] Jump up to: ^а ^б Моранте С., Г.К. Росси и М. Теста. «Тензор напряжений молекулярной системы: упражнение по статистической механике». Журнал химической физики 125.3 (2006): 034101, http://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.2214719 .

[allen91-3] Jump up to: ^а ^б Аллен, член парламента; Тилдесли, диджей (1991). Кларендон Пресс (ред.). Компьютерное моделирование жидкостей . Оксфорд. стр. 46–50. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[4] Навет, М.; Джамин, Э.; Фейкс, MR (1 февраля 1980 г.). « Вириальное» давление классической однокомпонентной плазмы» . Журнал Physique Lettres . 41 (3): 69–73. doi : 10.1051/jphyslet:0198000410306900 . ISSN 0302-072X . S2CID 122678419 .

[5] Луазон, Клэр (2005). Численное моделирование смектической пластинчатой фазы амфифильных молекул . Кювилье Верлаг. ISBN 978-3-86537-655-8 .

[6] Мигель, Энрике де; Джексон, Джордж (30 октября 2006 г.). «Природа расчета давления при молекулярном моделировании непрерывных моделей по объемным возмущениям». Журнал химической физики . 125 (16): 164109. Бибкод : 2006JChPh.125p4109D . дои : 10.1063/1.2363381 . hdl : 10272/9584 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 17092065 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]