Правило Стерджеса

Правило Стерджеса — это метод выбора количества интервалов для гистограммы . Данный $n$ наблюдений, правило Стерджеса предполагает использование

${\hat {k}}=1+\log _{2}(n)$

ячейки на гистограмме. Это правило широко используется в программном обеспечении для анализа данных , включая Python. и R , где это метод выбора интервала по умолчанию.

Правило Стерджеса основано на биномиальном распределении , которое используется как дискретная аппроксимация нормального распределения . Если аппроксимируемая функция $f$ распределено биномиально, тогда

$f(y)={\binom {m}{y}}p^{y}(1-p)^{m-y}$

где $m$ это количество испытаний и $p$ это вероятность успеха и $y=0,1,\ldots ,m$. Выбор $p=1/2$ дает

$f(y)={\binom {m}{y}}2^{-m}$

В этой форме мы можем рассматривать $2^{-m}$ поскольку коэффициент нормализации и правило Стерджеса говорят, что выборка должна привести к гистограмме с количеством интервалов, заданным биномиальными коэффициентами . Поскольку общий размер выборки фиксирован $n$ мы должны иметь

$n=\sum _{y}{\binom {m}{y}}=2^{m}$

используя известную формулу суммы биномиальных коэффициентов . Решение этой проблемы путем взятия журналов с обеих сторон дает $m=\log _{2}(n)$ и, наконец, используя $k=m+1$ (из-за подсчета 0 исходов) дает правило Стерджеса. В общем случае правило Стерджеса не дает целочисленного ответа, поэтому результат округляется в большую сторону.

Формула Доана

Доан предложил изменить формулу Стерджеса, чтобы добавить дополнительные ячейки, когда данные искажены . Использование моментов метода оценки

$g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right]^{3/2}}},$

вместе с его дисперсией

$\sigma _{g_{1}}^{2}={\frac {6(n-2)}{(n+1)(n+3)}}$

Доан предложил добавить $\log _{2}\left(1+{\frac {|g_{1}|}{\sigma _{g_{1}}}}\right)$ дополнительные ячейки, дающие формулу Доана

${\hat {k}}=1+\log _{2}(n)+\log _{2}\left(1+{\frac {|g_{1}|}{\sigma _{g_{1}}}}\right)$

Для симметричных распределений $|g_{1}|\simeq 0$ это эквивалентно правилу Стерджеса. Для асимметричного распределения будет использоваться ряд дополнительных ячеек.

Критика

Гистограмма 10 000 выборок из гамма -распределения (2,2). Число ячеек, предложенное правилом Скотта , равно 61, правилом Доана — 21 и правилом Стерджеса — 15.

Правило Стерджеса не основано на какой-либо процедуре оптимизации, как правило Фридмана-Диакониса или правило Скотта . Оно просто утверждается на основе аппроксимации нормальной кривой биномиальным распределением. Гайндман отметил что любое кратное биномиальным коэффициентам также будет сходиться к нормальному распределению, поэтому любое количество интервалов можно получить, следуя приведенному выше выводу. Скотт показывает, что правило Стерджеса в целом дает чрезмерно сглаженные гистограммы, т.е. слишком мало интервалов, и рекомендует не использовать его в пользу других правил, таких как правило Фридмана-Диакониса или правило Скотта.