Расширение Корниша – Фишера

Расширение Корниша -Фишера — это асимптотическое расширение, используемое для аппроксимации квантилей распределения вероятностей на основе его кумулянтов .

Он назван в честь Э.А. Корниша и Р.А. Фишера , которые впервые описали эту технику в 1937 году.

Определение

Для случайной величины X со средним значением µ, дисперсией σ² и кумулянтами κ _n ее квантиль y _p в порядке квантиля p можно оценить как $y_{p}\approx \mu +\sigma w_{p}$ где:

${\begin{aligned}w_{p}&=&x&+\left[\gamma _{1}h_{1}(x)\right]\\&&&+\left[\gamma _{2}h_{2}(x)+\gamma _{1}^{2}h_{11}(x)\right]\\&&&+\left[\gamma _{3}h_{3}(x)+\gamma _{1}\gamma _{2}h_{12}(x)+\gamma _{1}^{3}h_{111}(x)\right]\\&&&+\cdots \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x&=\Phi ^{-1}(p)\\\gamma _{r-2}&={\frac {\kappa _{r}}{\kappa _{2}^{r/2}}};\;r\in \{3,4,\ldots \}\\h_{1}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{2}(x)}{6}}\\h_{2}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{3}(x)}{24}}\\h_{11}(x)&=-{\frac {\left[2\mathrm {He} _{3}(x)+\mathrm {He} _{1}(x)\right]}{36}}\\h_{3}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{4}(x)}{120}}\\h_{12}(x)&=-{\frac {\left[\mathrm {He} _{4}(x)+\mathrm {He} _{2}(x)\right]}{24}}\\h_{111}(x)&={\frac {\left[12\mathrm {He} _{4}(x)+19\mathrm {He} _{2}(x)\right]}{324}}\end{aligned}}$

где He _n - это n ^й вероятностный полином Эрмита . Значения γ ₁ и γ ₂ случайной величины представляют собой асимметрию и (избыточный) эксцесс соответственно. Значения в каждом наборе скобок являются терминами для этого уровня полиномиальной оценки, и все они должны быть рассчитаны и объединены, чтобы расширение Корниша-Фишера на этом уровне было действительным.

Пример

Пусть X — случайная величина со средним значением 10, дисперсией 25, асимметрией 5 и избыточным эксцессом 2. Мы можем использовать первые два термина в скобках, приведенные выше, которые зависят только от асимметрии и эксцесса, для оценки квантилей этой случайной величины. Для 95-го процентиля значение, для которого стандартная нормальная кумулятивная функция распределения равна 0,95, равно 1,644854, что будет равно x . Вес w можно рассчитать как:

${\begin{aligned}1.644854&+5\cdot {\frac {1.644854^{2}-1}{6}}\\&+2\cdot {\frac {1.644854^{3}-3\cdot 1.644854}{24}}-5^{2}{\frac {2\cdot 1.644854^{3}-5\cdot 1.644854}{36}}\end{aligned}}$

или около 2,55621. Таким образом, предполагаемый 95-й процентиль X составляет 10 + 5 × 2,55621 или около 22,781. Для сравнения: 95-й процентиль нормальной случайной величины со средним значением 10 и дисперсией 25 составит около 18,224; имеет смысл, что нормальная случайная величина имеет более низкое значение 95-го процентиля, поскольку нормальное распределение не имеет асимметрии или избыточного эксцесса и поэтому имеет более тонкий хвост, чем случайная величина X .