Поскольку численные методы

В численном анализе и прикладной математике , поскольку численные методы являются численными методами для поиска приближенных решений уравнений в частных производных и интегральных уравнений на основе преобразования функции sinc и кардинальной функции C(f,h), которая представляет собой разложение f, определяемое формулой

$C(f,h)(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(kh)\,{\textrm {sinc}}\left({\dfrac {x}{h}}-k\right)$

где размер шага h>0 и где функция sinc определяется выражением

${\textrm {sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$

Методы аппроксимации Sinc отлично подходят для задач, решения которых могут иметь особенности, бесконечные области или пограничные слои.

Усеченное разложение Sinc для f определяется следующим рядом:

$C_{M,N}(f,h)(x)=\displaystyle \sum _{k=-M}^{N}f(kh)\,{\textrm {sinc}}\left({\dfrac {x}{h}}-k\right)$ .

Поскольку численные методы охватывают

• аппроксимация функции,
• аппроксимация производных ,
• приближенное определенное и неопределенное интегрирование ,
• приближенное решение начальных и краевых задач обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ),
• аппроксимация и обращение преобразований Фурье и Лапласа ,
• аппроксимация преобразований Гильберта ,
• аппроксимация определенной и неопределенной свертки ,
• приближенное решение уравнений в частных производных,
• приближенное решение интегральных уравнений ,
• построение конформных отображений.

Действительно, Sinc повсеместно используются для аппроксимации каждой операции исчисления.

в стандартной настройке численных методов sinc ошибки (в обозначении большого O ) равны Известно, что $O\left(e^{-c{\sqrt {n}}}\right)$ с некоторым c>0, где n — количество узлов или базисов, используемых в методах. Однако Сугихара недавно обнаружил, что ошибки в численных методах Sinc, основанных на двойном экспоненциальном преобразовании, составляют $O\left(e^{-{\frac {kn}{\ln n}}}\right)$ с некоторым k>0 в схеме, которая также имеет смысл как теоретически, так и практически и оказывается наилучшей в определенном математическом смысле.

Чтение

• Стенджер, Фрэнк (2011). Справочник по численным методам Sinc . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  9781439821596 .
• Лунд, Джон; Бауэрс, Кеннет (1992). Синк-методы для квадратурных и дифференциальных уравнений . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN  9780898712988 .