Время пребывания (статистика)

В статистике время пребывания — это среднее количество времени, которое требуется случайному процессу для достижения определенного граничного значения, обычно границы, далекой от среднего значения.

Определение

Предположим, y ( t ) — реальный скалярный случайный процесс с начальным значением y ( t ₀ ) = y ₀ , средним y _avg и двумя критическими значениями { y _avg − y _min , y _avg + y _max }, где y _min > 0. и y _max > 0 . Определите время первого прохождения y , ( t ) внутри интервала − y _min как y _max ) (

$\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \{y_{\operatorname {avg} }-y_{\min },\ y_{\operatorname {avg} }+y_{\max }\}\},$

где «inf» — это нижняя грань . Это наименьшее время после начального момента t ₀ , когда y ( t ) равно одному из критических значений, образующих границу интервала, при условии, что y ₀ находится внутри интервала.

Поскольку y ( t ) своего начального значения к границе, τ( y0 _{случайным образом движется от} ) сама по себе является случайной величиной . Среднее значение τ( y0 _время ) — это пребывания ,

${\bar {\tau }}(y_{0})=E[\tau (y_{0})\mid y_{0}].$

Для гауссовского процесса и границы, далекой от среднего значения, время пребывания равно обратной частоте превышения меньшего критического значения:

${\bar {\tau }}=N^{-1}(\min(y_{\min },\ y_{\max })),$

где частота превышения N равна

$N(y_{\max })=N_{0}e^{-y_{\max }^{2}/2\sigma _{y}^{2}},$ ( 1 )

σ_σy ² - дисперсия распределения Гаусса,

$N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}},$

и Φ _y ( f ) — спектральная плотность мощности гауссова распределения по частоте f .

Обобщение на несколько измерений

Предположим, что вместо того, чтобы быть скалярным, y ( t ) имеет размерность p или y ( t ) ∈ ℝ ^п . Определим область Ψ ⊂ ℝ ^п который содержит y _avg и имеет гладкую границу ∂Ψ . В этом случае определим время первого прохождения y ( t ) изнутри области Ψ как

$\tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \partial \Psi \mid y_{0}\in \Psi \}.$

В этом случае эта нижняя грань — это наименьшее время, в которое y ( t ) находится на границе Ψ, а не равно одному из двух дискретных значений, предполагая, что находится _y0 внутри Ψ . Среднее значение этого времени является временем пребывания ,

${\bar {\tau }}(y_{0})=\operatorname {E} [\tau (y_{0})\mid y_{0}].$

Логарифмическое время пребывания

Логарифмическое время пребывания представляет собой безразмерную вариацию времени пребывания. Он пропорционален натуральному логарифму нормированного времени пребывания. Учитывая экспоненту в уравнении ( 1 ), логарифмическое время пребывания гауссовского процесса определяется как

${\hat {\mu }}=\ln \left(N_{0}{\bar {\tau }}\right)={\frac {\min(y_{\min },\ y_{\max })^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}.$

Это тесно связано с другим безразмерным дескриптором этой системы, числом стандартных отклонений между границей и средним значением, min( y _min , y _max )/ σ _y .

В общем, коэффициент нормализации N ₀ может быть трудно или невозможно вычислить, поэтому безразмерные величины могут быть более полезны в приложениях.

См. также

• Совокупный частотный анализ
• Теория экстремальных ценностей
• Модель первого попадания
• Частота превышения
• Среднее время между отказами

Ссылки

• Меерков, С.М.; Рунольфссон, Т. (1986). Контроль прицеливания . Материалы 25-й конференции по принятию решений и контролю. Афины: IEEE. стр. 494–498.
• Меерков, С.М.; Рунольфссон, Т. (1987). Выходной контроль прицеливания . Материалы 26-й конференции по принятию решений и контролю. Лос-Анджелес: IEEE. стр. 1734–1739.
• Ричардсон, Джонхенри Р.; Аткинс, Элла М .; Кабамба, Пьер Т.; Жирар, Анук Р. (2014). «Запасы безопасности при полете при стохастических порывах ветра». Журнал управления, контроля и динамики . 37 (6). АИАА: 2026–2030 гг. дои : 10.2514/1.G000299 . hdl : 2027.42/140648 .