Коэффициент Миллса

В теории вероятностей коэффициент Миллса (или коэффициент Миллса ^[1]) непрерывной случайной величины $X$ это функция

m(x):={\frac {{\bar {F}}(x)}{f(x)}},

где $f(x)$ – функция плотности вероятности , а

{\bar {F}}(x):=\Pr[X>x]=\int _{x}^{+\infty }f(u)\,du

— дополнительная кумулятивная функция распределения (также называемая функцией выживания ). Концепция названа в честь Джона П. Миллса . ^[2] Коэффициент Миллса связан со степенью опасности h ( x ), которая определяется как ^[3]

h(x):=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{\delta }}\Pr[x<X\leq x+\delta |X>x]

к

m(x)={\frac {1}{h(x)}}.

Верхняя и нижняя границы

Когда $X$ имеет стандартное нормальное распределение, то для $x>0$ :

{\frac {x}{x^{2}+1}}<m(x)<{\frac {1}{x}}

^[4]^[5]

Пример

Если $X$ имеет стандартное нормальное распределение, тогда

m(x)\sim 1/x,\,

где знак $\sim$ означает, что частное двух функций сходится к 1 при $x\to +\infty$ , см. в разделе Q-функция подробности . Можно дать более точную асимптотику. ^[6]

Обратное соотношение Миллса

Обратное соотношение Миллса представляет собой отношение функции плотности вероятности к дополнительной кумулятивной функции распределения распределения. Его использование часто мотивируется следующим свойством усеченного нормального распределения . Если X — случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением µ и дисперсией σ ², затем

{\begin{aligned}&\operatorname {E} [\,X\,|\ X>\alpha \,]=\mu +\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{1-\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\\&\operatorname {E} [\,X\,|\ X<\alpha \,]=\mu -\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\end{aligned}}

где $\alpha$ является константой, $\phi$ обозначает стандартную функцию нормальной плотности, а $\Phi$ — стандартная нормальная кумулятивная функция распределения. Эти две дроби представляют собой обратные коэффициенты Миллса. ^[7]

Использование в регрессии

Обычное применение обратного коэффициента Миллса (иногда также называемого «опасностью отказа от выбора») возникает в регрессионном анализе для учета возможной систематической ошибки отбора . Если зависимая переменная подвергается цензуре (т.е. не для всех наблюдений наблюдается положительный результат), это приводит к концентрации наблюдений при нулевых значениях. Эта проблема была впервые признана Тобином (1958), который показал, что, если это не принимать во внимание в процедуре оценки, обычная оценка методом наименьших квадратов приведет к смещенным оценкам параметров. ^[8] При использовании цензурированных зависимых переменных нарушается предположение Гаусса-Маркова о нулевой корреляции между независимыми переменными и ошибкой . ^[9]

Джеймс Хекман предложил двухэтапную процедуру оценки с использованием обратного коэффициента Миллса для коррекции систематической ошибки отбора. ^[10]^[11] модели моделируется регрессия для наблюдения положительного результата зависимой переменной На первом этапе с помощью пробит- . Обратное соотношение Миллса должно быть сгенерировано на основе оценки пробит-модели , логит использовать нельзя. Модель пробита предполагает, что член ошибки следует стандартному нормальному распределению . ^[10] Оцененные параметры используются для расчета обратного коэффициента Миллса, который затем включается в качестве дополнительной объясняющей переменной в оценку МНК. ^[12]

См. также

Поправка Хекмана

Ссылки

^ Гриметт, Г.; Стирзакер, С. (2001). Теория вероятностей и случайные процессы (3-е изд.). Кембридж. п. 98. ИСБН 0-19-857223-9 .
^ Миллс, Джон П. (1926). «Таблица отношения: площадь к ограничивающей ординате для любой части нормальной кривой». Биометрика . 18 (3/4): 395–400. дои : 10.1093/biomet/18.3-4.395 . JSTOR 2331957 .
^ Кляйн, JP; Моешбергер, М.Л. (2003). Анализ выживания: методы обработки цензурированных и усеченных данных . Нью-Йорк: Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-95399-Х .
^ «Верхняя и нижняя границы функции нормального распределения» . www.johndcook.com . 2018-06-02 . Проверено 20 декабря 2023 г.
^ Уэйнрайт М.Дж. Многомерная статистика: неасимптотическая точка зрения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета; 2019. doi:10.1017/9781108627771
^ Смолл, Кристофер Г. (2010). Разложения и асимптотики статистики . Монографии по статистике и прикладной теории вероятности. Том. 115. ЦРК Пресс. стр. 48, 50–51, 88–90. ISBN 978-1-4200-1102-9 . .
^ Грин, штат Вашингтон (2003). Эконометрический анализ (Пятое изд.). Прентис-Холл. п. 759. ИСБН 0-13-066189-9 .
^ Тобин, Дж. (1958). «Оценка взаимосвязей для ограниченных зависимых переменных» (PDF) . Эконометрика . 26 (1): 24–36. дои : 10.2307/1907382 . JSTOR 1907382 .
^ Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 366–368 . ISBN 0-674-00560-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Хекман, Джей-Джей (1979). «Выбор образца как ошибка спецификации». Эконометрика . 47 (1): 153–161. дои : 10.2307/1912352 . JSTOR 1912352 .
^ Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 368–373 . ISBN 0-674-00560-0 .
^ Хекман, Джей-Джей (1976). «Общая структура статистических моделей усечения, выборки и ограниченных зависимых переменных, а также простая система оценки для таких моделей». Анналы экономических и социальных измерений . 5 (4): 475–492.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент Миллса» . Математический мир .

[GS-1] Гриметт, Г.; Стирзакер, С. (2001). Теория вероятностей и случайные процессы (3-е изд.). Кембридж. п. 98. ИСБН 0-19-857223-9 .

[2] Миллс, Джон П. (1926). «Таблица отношения: площадь к ограничивающей ординате для любой части нормальной кривой». Биометрика . 18 (3/4): 395–400. дои : 10.1093/biomet/18.3-4.395 . JSTOR 2331957 .

[KM-3] Кляйн, JP; Моешбергер, М.Л. (2003). Анализ выживания: методы обработки цензурированных и усеченных данных . Нью-Йорк: Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-95399-Х .

[4] «Верхняя и нижняя границы функции нормального распределения» . www.johndcook.com . 2018-06-02 . Проверено 20 декабря 2023 г.

[5] Уэйнрайт М.Дж. Многомерная статистика: неасимптотическая точка зрения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета; 2019. doi:10.1017/9781108627771

[S-6] Смолл, Кристофер Г. (2010). Разложения и асимптотики статистики . Монографии по статистике и прикладной теории вероятности. Том. 115. ЦРК Пресс. стр. 48, 50–51, 88–90. ISBN 978-1-4200-1102-9 . .

[7] Грин, штат Вашингтон (2003). Эконометрический анализ (Пятое изд.). Прентис-Холл. п. 759. ИСБН 0-13-066189-9 .

[8] Тобин, Дж. (1958). «Оценка взаимосвязей для ограниченных зависимых переменных» (PDF) . Эконометрика . 26 (1): 24–36. дои : 10.2307/1907382 . JSTOR 1907382 .

[9] Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 366–368 . ISBN 0-674-00560-0 .

[Heckman1979-10] Jump up to: ^а ^б Хекман, Джей-Джей (1979). «Выбор образца как ошибка спецификации». Эконометрика . 47 (1): 153–161. дои : 10.2307/1912352 . JSTOR 1912352 .

[11] Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 368–373 . ISBN 0-674-00560-0 .

[12] Хекман, Джей-Джей (1976). «Общая структура статистических моделей усечения, выборки и ограниченных зависимых переменных, а также простая система оценки для таких моделей». Анналы экономических и социальных измерений . 5 (4): 475–492.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]