Квазивыпуклость (вариационное исчисление)

Эта статья посвящена обобщению выпуклости, используемому в вариационном исчислении. Для несвязанного обобщения выпуклости, используемого в микроэкономике, см. Квазивыпуклую функцию , см. Квазивыпуклость (вариационное исчисление) (значения) .

В вариационном исчислении , подразделе математики, квазивыпуклость является обобщением понятия выпуклости. Он используется для характеристики подынтегральной функции функционала и связан с существованием минимизаторов. При некоторых естественных условиях квазивыпуклость подынтегрального выражения является необходимым и достаточным условием функционала

$${\mathcal {F}}:W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})\rightarrow \mathbb {R} \qquad u\mapsto \int _{\Omega }f(x,u(x),\nabla u(x))dx$$

быть полунепрерывным снизу в слабой топологии для достаточной регулярной области ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$. Тогда по соображениям компактности ( теорема Банаха–Алаоглу может следовать существование минимизаторов слабо полунепрерывных снизу функционалов ) из прямого метода . Эта концепция была введена Морри в 1952 году. Это обобщение не следует путать с одноименным понятием квазивыпуклой функции .

Определение

Локально ограниченная, измеримая по Борелю функция ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{m\times d}\rightarrow \mathbb {R} }$ называется квазивыпуклым, если

$$\int _{B(0,1)}{\bigl (}f(A+\nabla \psi (x))-f(A){\bigr )}dx\geq 0$$

для всех $A\in \mathbb {R}$ и все $\psi \in W_{0}^{1,\infty }(B(0,1),\mathbb {R} ^{m})$ , где B (0,1) — единичный шар и $W_{0}^{1,\infty }$ — пространство Соболева существенно ограниченных функций с существенно ограниченной производной и исчезающим следом .

Свойства квазивыпуклых функций

• Область B (0,1) можно заменить любой другой ограниченной липшицевой областью .

• Квазивыпуклые функции локально липшицевы.

• В определении пространство $W_{0}^{1,\infty }$ можно заменить периодическими функциями Соболева.

с другими

Квазивыпуклость — это обобщение выпуклости для функций, определенных на матрицах. Чтобы убедиться в этом, пусть $A\in \mathbb {R} ^{m\times d}$ и $V\in L^{1}(B(0,1),\mathbb {R} ^{m})$ с $\int _{B(0,1)}V(x)dx=0$. Теорема о представлении Рисса -Маркова-Какутани утверждает, что двойственное пространство $C_{0}(\mathbb {R} ^{m\times d})$ можно отождествить с пространством знаковых конечных мер Радона на нем. Определим меру Радона $\mu$ к

$$\langle h,\mu \rangle ={\frac {1}{|B(0,1)|}}\int _{B(0,1)}h(A+V(x))dx$$

для $h\in C_{0}(\mathbb {R} ^{m\times d})$. Можно убедиться, что $\mu$ этовероятностная мера и ее барицентр заданы

$$[\mu ]=\langle \operatorname {id} ,\mu \rangle =A+\int _{B(0,1)}V(x)dx=A.$$

Если h — выпуклая функция, то неравенство Йенсенса дает

$$h(A)=h([\mu ])\leq \langle h,\mu \rangle ={\frac {1}{|B(0,1)|}}\int _{B(0,1)}h(A+V(x))dx.$$

Это справедливо, в частности, если V ( x ) является производной $\psi \in W_{0}^{1,\infty }(B(0,1),\mathbb {R} ^{m\times d})$ по обобщенной теореме Стокса.

Определитель $\det \mathbb {R} ^{d\times d}\rightarrow \mathbb {R}$ является примером квазивыпуклой функции, которая не является выпуклой. Чтобы убедиться в невыпуклости определителя, рассмотрим

$$A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad B={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.$$

Тогда оно имеет место $\det A=\det B=0$ но для $\lambda \in (0,1)$ у нас есть $\det(\lambda A+(1-\lambda )B)=\lambda (1-\lambda )>0=\max(\det A,\det B)$. Это показывает, что определитель не является квазивыпуклой функцией, как в теории игр , и, следовательно, не является отдельным понятием выпуклости.

В векторном случае вариационного исчисления существуют другие понятия выпуклости. Для функции $f:\mathbb {R} ^{m\times d}\rightarrow \mathbb {R}$ он утверждает, что

$$f{\text{ convex}}\Rightarrow f{\text{ polyconvex}}\Rightarrow f{\text{ quasiconvex}}\Rightarrow f{\text{ rank-1-convex}}.$$

Все эти понятия эквивалентны, если $d=1$ или $m=1$. Еще в 1952 году Морри предположил, что выпуклость ранга 1 не означает квазивыпуклость. Это была основная нерешенная проблема вариационного исчисления, пока в 1993 году Шверак не привел контрпример для этого случая. $d\geq 2$ и $m\geq 3$. Дело $d=2$ или $m=2$ остается открытой проблемой, известной как гипотеза Морри.

полунепрерывностью

При определенных условиях роста подынтегрального выражения секвенциальная слабо полунепрерывность снизу (swlsc) интегрального функционала в соответствующем пространстве Соболева эквивалентна квазивыпуклости подынтегрального выражения. Ачерби и Фуско доказали следующую теорему:

Теорема: Если $f:\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{d\times m}\rightarrow \mathbb {R} ,(x,v,A)\mapsto f(x,v,A)$ – функция Каратеодори ионо держится $0\leq f(x,v,A)\leq a(x)+C(|v|^{p}+|A|^{p})$. Тогда функционал

$${\mathcal {F}}[u]=\int _{\Omega }f(x,u(x),\nabla u(x))dx$$

является swlsc в пространстве Соболева $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ с $p>1$ тогда и только тогда, когда $f$ является квазивыпуклым. Здесь $C$ является положительной константой и $a(x)$ интегрируемая функция.

Другие авторы используют другие условия роста и другие условия доказательства. Первое доказательство этого было получено Морри в его статье, но он потребовал дополнительных предположений.