Нестабильность Дарье – Ландау

Нестабильность Дарье-Ландау или гидродинамическая нестабильность — это внутренняя нестабильность пламени , которая возникает в пламени предварительно смешанной смеси и вызвана изменением плотности из-за теплового расширения газа, образующегося в процессе горения . Проще говоря, устойчивость спрашивает, является ли стабильно распространяющийся плоский лист с прерывистым скачком плотности устойчивым или нет. Его независимо предсказали Жорж Жан Мари Дарье и Лев Ландау . Яков Зельдович отмечает, что Лев Ландау великодушно предложил ему исследовать эту задачу, однако Зельдович допустил ошибку в расчетах, из-за которой Ландау сам завершил работу.

Анализ неустойчивости, лежащей в основе неустойчивости Дарье – Ландау, рассматривает плоский фронт пламени предварительно перемешанной смеси, подверженный очень небольшим возмущениям. Эту схему полезно рассматривать как такую, в которой невозмущенное пламя неподвижно, реагенты (топливо и окислитель) направлены к пламени и перпендикулярно ему со скоростью u1, а сгоревшие газы покидают пламя также перпендикулярно. пути, но со скоростью u2. В анализе предполагается, что поток представляет собой несжимаемый поток и что возмущения определяются линеаризованными уравнениями Эйлера и, следовательно, являются невязкими. С учетом этих соображений основным результатом данного анализа является то, что если плотность сгоревших газов меньше плотности реагентов, что имеет место на практике из-за теплового расширения газа, образующегося в процессе горения, пламя Фронт неустойчив к возмущениям любой длины волны . Другой результат состоит в том, что скорость роста возмущений обратно пропорциональна их длине волны; таким образом, мелкие морщины пламени (но превышающие характерную толщину пламени) растут быстрее, чем более крупные. Однако на практике стабилизирующее влияние могут оказывать эффекты диффузии и плавучести, не учтенные анализом Дарье и Ландау.

Дисперсионное соотношение

Если возмущения стационарного плоского слоя пламени имеют вид $e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} _{\bot }+\sigma t}$, где $\mathbf {x} _{\bot }$ — поперечная система координат, лежащая на невозмущенном неподвижном слое пламени, $t$ это время, $\mathbf {k}$ волновой вектор возмущения и $\sigma$ – временная скорость роста возмущения, то дисперсионное уравнение имеет вид

${\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r}{r+1}}\left({\sqrt {1+{\frac {r^{2}-1}{r}}}}-1\right)$

где $S_{L}$ - ламинарная скорость горения (или скорость потока далеко перед пламенем в рамке, прикрепленной к пламени), $k=|\mathbf {k} |$ и $r=\rho _{u}/\rho _{b}$ – отношение плотности сгоревшего газа к несгоревшему. При горении $r>1$ всегда и поэтому темпы роста $\sigma >0$ для всех волновых чисел. Это означает, что плоский слой пламени со скоростью горения $S_{L}$ нестабильно для всех волновых чисел. Фактически, Амабэль Линьян и Форман А. Уильямс цитируют в своей книге: что ввиду лабораторных наблюдений стабильного плоского ламинарного пламени публикация их теоретических предсказаний потребовала смелости со стороны Дарье и Ландау.

Если принять во внимание силы плавучести (другими словами, учитывать неустойчивость Рэлея-Тейлора ) для плоского пламени, перпендикулярного вектору силы тяжести, то можно ожидать некоторого уровня устойчивости для пламени, распространяющегося вертикально вниз (или пламени, которое удерживается в неподвижном состоянии вертикально восходящим потоком), поскольку в этих случаях более плотный несгоревший газ находится под более легкой смесью сгоревших газов. Конечно, дестабилизирующему эффекту способствуют пламя, распространяющееся вертикально вверх или удерживаемое вертикально нисходящим потоком, как механизм Дарье-Ландау, так и механизм Рэлея-Тейлора. Дисперсионное соотношение с учетом сил плавучести принимает вид

${\frac {\sigma }{S_{L}k}}={\frac {r}{r+1}}\left[{\sqrt {1+\left({\frac {r^{2}-1}{r}}\right)\left(1-{\frac {g}{S_{L}^{2}rk}}\right)}}-1\right]$

где $g>0$ соответствует ускорению силы тяжести для пламени, распространяющегося вниз и $g<0$ соответствует ускорению свободного падения пламени, распространяющегося вверх. Вышеупомянутая дисперсия подразумевает, что сила тяжести обеспечивает устойчивость пламени, распространяющемуся вниз, когда $k^{-1}>l_{b}=S_{L}^{2}r/g$, где $l_{b}$ – характерный масштаб длины плавучести.

Анализ Дарье и Ландау рассматривает пламя как плоский лист, чтобы исследовать его устойчивость, пренебрегая эффектами диффузии, тогда как в действительности пламя имеет определенную толщину, скажем, ламинарную толщину пламени. $k^{-1}\sim \delta _{L}=D_{T}/S_{L}$, где $D_{T}$ – температуропроводность , при которой нельзя пренебрегать диффузионными эффектами. Установлено, что учет структуры пламени, впервые предложенный Джорджем Х. Маркштейном , стабилизирует пламя для малых длин волн. $k^{-1}\sim \delta _{L}$, за исключением случаев, когда коэффициент диффузии топлива и температуропроводность существенно отличаются друг от друга, что приводит к так называемой ( тьюринговской ) диффузионно-термической неустойчивости .

Неустойчивость Дарье – Ландау проявляется в диапазоне $\delta _{L}\ll k^{-1}\ll l_{b}$ для распространения пламени вниз и $\delta _{L}\ll k^{-1}$ для распространения пламени вверх.

См. также

• Уравнение Майкельсона – Сивашинского
• Уравнение Клавина – Гарсиа