Фредгольмская платежеспособность

В математике разрешимость по Фредгольму включает в себя результаты и методы решения дифференциальных и интегральных уравнений с помощью альтернативы Фредгольма и, в более общем смысле, свойств типа Фредгольма используемого оператора. Концепция названа в честь Эрика Ивара Фредхольма .

Пусть $A$ — действительная $n \times n$ -матрица и $b\in \mathbb {R} ^{n}$ вектор.

Альтернатива Фредгольма в $\mathbb {R} ^{n}$ утверждает, что уравнение $Ax=b$ имеет решение тогда и только тогда, когда $b^{T}v=0$ для каждого вектора $v\in \mathbb {R} ^{n}$ удовлетворяющий $A^{T}v=0$ . Эта альтернатива имеет множество приложений, например, в теории бифуркаций . Его можно обобщить на абстрактные пространства. Итак, пусть $E$ и $F$ будут банаховыми пространствами и пусть $T:E\rightarrow F$ — непрерывный линейный оператор . Позволять $E^{*}$ , соответственно $F^{*}$ , обозначаем топологический двойник $E$ , соответственно $F$ , и пусть $T^{*}$ обозначим сопряженное $T$ (см. также Двойственность ; Сопряженный оператор ). Определять

(\ker T^{*})^{\perp }=\{y\in F:(y,y^{*})=0{\text{ for every }}y^{*}\in \ker T^{*}\}

Уравнение $Tx=y$ называется нормально разрешимой (в смысле Ф. Хаусдорфа ), если она имеет решение всякий раз, когда $y\in (\ker T^{*})^{\perp }$ . Классический результат гласит, что $Tx=y$ нормально разрешима тогда и только тогда, когда $T(E)$ закрыт в $F$ .

В нелинейном анализе этот последний результат используется как определение нормальной разрешимости нелинейных операторов.

Ссылки

Ф. Хаусдорф, «К теории линейных метрических пространств», Журнал чистой и прикладной математики , 167 (1932) стр. 265 [1] [2]
В. А. Козлов, В. Г. Мазья, Дж. Россман, "Эллиптические краевые задачи в областях с точечными особенностями", Амер. Математика. Соц. (1997) [3] [4]
А.Т. Прилепко, Д.Г. Орловский, И.А. Васин, «Методы решения обратных задач математической физики», М. Деккер (2000) [5] [6]
Д.Г. Орловский, "Фредгольмова разрешимость обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений" А.Н. Тихонов (ред.) и др. (ред.), Некорректные задачи естественных наук , ВСП (1992) [7]