Уравнения Цеппритца

Диаграмма, показывающая преобразования мод , которые происходят, когда P-волна отражается от границы раздела при ненормальном падении.

В геофизике и сейсмологии отражения представляют уравнения Цепприца собой набор уравнений, которые описывают распределение энергии сейсмических волн на границе раздела вследствие преобразования мод . Они названы в честь их автора, немецкого геофизика Карла Бернхарда Цепприца , который умер до их публикации в 1919 году.

Уравнения важны в геофизике, поскольку они связывают амплитуду продольной волны , падающей на плоскую границу раздела, а также амплитуду отраженных и преломленных продольных и поперечных волн с углом падения . Они являются основой для исследования факторов, влияющих на амплитуду возвращающейся сейсмической волны при изменении угла падения — также известного как анализ амплитуды и смещения — который является полезным методом обнаружения нефтяных резервуаров .

Уравнения Цеприца не были первыми, кто описал амплитуды отраженных и преломленных волн на плоской границе раздела. Каргилл Гилстон Нотт использовал подход на основе потенциалов почти 20 лет назад, в 1899 году, для вывода уравнений Нотта . Оба подхода верны, но подход Зеппритца легче понять.

Уравнения

Уравнения Цеприца состоят из четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

${\begin{bmatrix}R_{\mathrm {P} }\\R_{\mathrm {S} }\\T_{\mathrm {P} }\\T_{\mathrm {S} }\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \theta _{1}&-\cos \phi _{1}&\sin \theta _{2}&\cos \phi _{2}\\\cos \theta _{1}&-\sin \phi _{1}&\cos \theta _{2}&-\sin \phi _{2}\\\sin 2\theta _{1}&{\frac {V_{\mathrm {P1} }}{V_{\mathrm {S1} }}}\cos 2\phi _{1}&{\frac {\rho _{2}V_{\mathrm {S2} }^{2}V_{\mathrm {P1} }}{\rho _{1}V_{\mathrm {S1} }^{2}V_{\mathrm {P2} }}}\sin 2\theta _{2}&{\frac {\rho _{2}V_{\mathrm {S2} }V_{\mathrm {P1} }}{\rho _{1}V_{\mathrm {S1} }^{2}}}\cos 2\phi _{2}\\-\cos 2\phi _{1}&{\frac {V_{\mathrm {S1} }}{V_{\mathrm {P1} }}}\sin 2\phi _{1}&{\frac {\rho _{2}V_{P2}}{\rho _{1}V_{P1}}}\cos 2\phi _{2}&-{\frac {\rho _{2}V_{S2}}{\rho _{1}V_{P1}}}\sin 2\phi _{2}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\sin \theta _{1}\\\cos \theta _{1}\\\sin 2\theta _{1}\\\cos 2\phi _{1}\\\end{bmatrix}}$

R _P , RS _, , T _P и T _S - коэффициенты амплитуды отраженной P, отраженной S, прошедшей P и переданной S-волны соответственно ${\theta }_{1}$= угол падения, ${\theta }_{2}$= угол проходящей P-волны, ${\phi }_{1}$= угол отраженной S-волны и ${\phi }_{2}$= угол передаваемой S-волны. Обращение матричной формы уравнений Цепприца дает коэффициенты как функцию угла.

Хотя четыре уравнения можно решить для четырех неизвестных, они не дают интуитивного понимания того, как амплитуды отражения изменяются в зависимости от свойств горной породы ( плотность , скорость и т. д.). Было предпринято несколько попыток разработать приближения к уравнениям Цеппритца, например, Бортфельда (1961) и Аки и Ричардса (1980). но наиболее успешным из них является метод Шуи, который предполагает, что коэффициент Пуассона является упругим свойством, наиболее непосредственно связанным с угловой зависимостью коэффициента отражения.

Уравнение Шуи

Уравнение Шуи с 3 членами можно записать разными способами. Наиболее распространенной формой является следующая:

$R(\theta )=R(0)+G\sin ^{2}\theta +F(\tan ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$

где

$R(0)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}+{\frac {\Delta \rho }{\rho }}\right)$

и

$G={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}-2{\frac {V_{\mathrm {S} }^{2}}{V_{\mathrm {P} }^{2}}}\left({\frac {\Delta \rho }{\rho }}+2{\frac {\Delta V_{\mathrm {S} }}{V_{\mathrm {S} }}}\right)$ ; $F={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{\mathrm {P} }}{V_{\mathrm {P} }}}$

где ${\theta }$= угол падения; ${V_{p}}$ = скорость продольной волны в среде; ${{\Delta }V_{p}}$ = контраст скоростей продольных волн на границе раздела; ${V_{s}}$ = скорость поперечной волны в среде; ${{\Delta }V_{s}}$ = контраст скоростей поперечных волн на границе раздела; ${\rho }$ = плотность в среде; ${{\Delta }{\rho }}$ = контраст плотности на границе раздела;

Предлагаемое лучшее приближение уравнений Цепприца:

$R(\theta )=R(0)-A\sin ^{2}\theta$

и

$A=2{\frac {V_{\mathrm {S} }^{2}}{V_{\mathrm {P} }^{2}}}\left({\frac {\Delta \rho }{\rho }}+2{\frac {\Delta V_{\mathrm {S} }}{V_{\mathrm {S} }}}\right)$

В уравнении Шуи R(0) представляет собой коэффициент отражения при нормальном падении и определяется контрастом акустических импедансов. G, часто называемый градиентом AVO, описывает изменение амплитуд отражения на промежуточных удалениях, а третий член, F, описывает поведение при больших углах/дальних удалениях, близких к критическому углу.Это уравнение можно еще упростить, если предположить, что угол падения меньше 30 градусов (т.е. смещение относительно небольшое), поэтому третий член будет стремиться к нулю. Это имеет место в большинстве сейсмических исследований и дает «приближение Шуи»:

$R(\theta )=R(0)+G\sin ^{2}\theta$

См. также

• Амплитуда в зависимости от смещения — практическое применение явления, описываемого этими уравнениями.
• Карл Бернхард Цепприц

Дальнейшее чтение

Полный вывод этих уравнений можно найти в большинстве по разведочной геофизике учебников , таких как:

• Шериф, Р.Э., Гелдарт, Л.П., (1995), 2-е издание. Разведочная сейсмология. Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• crewes.org