Принцип разделения

В теории управления принцип разделения , более формально известный как принцип разделения оценки и управления , утверждает, что при некоторых предположениях проблема разработки оптимального контроллера с обратной связью для стохастической системы может быть решена путем разработки оптимального наблюдателя для состояния система, которая поступает в оптимальный детерминированный контроллер для системы. Таким образом, задачу можно разбить на две отдельные части, что упрощает проектирование.

Первый пример такого принципа находится в условиях детерминированных линейных систем, а именно: если стабильный наблюдатель и стабильная обратная связь по состоянию разработаны для линейной, инвариантной во времени системы (система LTI в дальнейшем), то объединенный наблюдатель и обратная связь стабильны. . Принцип разделения, вообще говоря, не справедлив для нелинейных систем.

Другой пример принципа разделения возникает в случае линейных стохастических систем, а именно, что оценка состояния (возможно, нелинейная) вместе с оптимальным контроллером с обратной связью по состоянию, предназначенным для минимизации квадратичных затрат, оптимальна для задачи стохастического управления с выходными измерениями. Когда шум процесса и наблюдения является гауссовым, оптимальное решение разделяется на фильтр Калмана и линейно-квадратичный регулятор . Это известно как линейно-квадратично-гауссово управление . В более общем смысле, при подходящих условиях и когда шум представляет собой мартингал (с возможными скачками), снова применяется принцип разделения, известный как принцип разделения в стохастическом управлении .

Принцип разделения также справедлив для наблюдателей с высоким коэффициентом усиления, используемых для оценки состояния класса нелинейных систем. и управление квантовыми системами.

Доказательство принципа разделения для детерминированных систем LTI

Рассмотрим детерминированную систему LTI:

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)\end{aligned}}$

где

$u(t)$ представляет входной сигнал,

$y(t)$ представляет выходной сигнал, и

$x(t)$ отражает внутреннее состояние системы.

Мы можем создать наблюдателя формы

${\dot {\hat {x}}}=(A-LC){\hat {x}}+Bu+Ly\,$

и оставить отзыв

$u(t)=-K{\hat {x}}\,.$

Определите ошибку e :

$e=x-{\hat {x}}\,.$

Затем

${\dot {e}}=(A-LC)e\,$

$u(t)=-K(x-e)\,.$

Теперь мы можем записать динамику замкнутого контура как

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {e}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-BK&BK\\0&A-LC\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\e\\\end{bmatrix}}.$

Поскольку это треугольная матрица , собственные значения совпадают с собственными значениями A − BK и A − LC . Таким образом, устойчивость наблюдателя и обратная связь независимы .

Ссылки

• Брезински, Клод. Вычислительные аспекты линейного управления (численные методы и алгоритмы) . Спрингер, 2002.