Гипергеометрическая идентичность

Чтобы узнать о тождествах, которым удовлетворяет гипергеометрическая функция, см. Список гипергеометрических тождеств .

В математике гипергеометрические гипергеометрические тождества представляют собой равенства, включающие суммы по гипергеометрическим членам, т. е. коэффициентам, входящим в ряды . Эти тождества часто встречаются при решении комбинаторных задач, а также при анализе алгоритмов .

Эти личности традиционно находили «вручную». В настоящее время существует несколько алгоритмов, которые могут найти и доказать все гипергеометрические тождества.

Примеры

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}$

$\sum _{k=0}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}$

$\sum _{i=n}^{N}i{i \choose n}=(n+1){N+2 \choose n+2}-{N+1 \choose n+1}$

Определение

Существует два определения гипергеометрических терминов, оба используются в разных случаях, как описано ниже. См. также гипергеометрический ряд .

Терм t _k является гипергеометрическим термом, если

${\frac {t_{k+1}}{t_{k}}}$

является рациональной функцией от k .

Терм F(n,k) является гипергеометрическим термом, если

${\frac {F(n,k+1)}{F(n,k)}}$

является рациональной функцией от k .

Существует два типа сумм по гипергеометрическим членам: определенные и неопределенные суммы. Определенная сумма имеет вид

$\sum _{k}t_{k}.$

Неопределенная сумма имеет вид

$\sum _{k=0}^{n}F(n,k).$

Доказательства

Хотя в прошлом доказательства были найдены для многих конкретных тождеств, существует несколько общих алгоритмов для поиска и доказательства тождеств. Эти алгоритмы сначала находят простое выражение для суммы гипергеометрических членов, а затем предоставляют сертификат, который каждый может использовать для проверки и доказательства правильности тождества.

Для каждого типа гипергеометрической суммы существует один или несколько методов поиска простого выражения . Эти методы также предоставляют сертификат для проверки удостоверения личности:

• Определенные суммы : метод сестры Селин, алгоритм Цейлбергера.
• Неопределенные суммы : алгоритм Госпера

книге A = B В Марко Петковшека , Герберта Вилфа и Дорона Зейлбергера описаны три основных подхода, упомянутых выше.

См. также

• Таблица ньютоновских рядов

Внешние ссылки

• Книга «А = Б» , эту книгу можно бесплатно скачать в Интернете.
• Примеры специальных функций на сайте exampleproblems.com.