Уравнение Сауэрбри

было Уравнение Сауэрбри разработано немецким Гюнтером Сауэрбри в 1959 году, работая над докторской диссертацией в Ttechnische Universität Berlin , Германия. Это метод корреляции изменений в частоте колебаний пьезоэлектрического кристалла с массой на нем. Он одновременно разработал метод измерения характерной частоты и ее изменений, используя кристалл в качестве частоты, определяющий компонент цепи осциллятора. Его метод по -прежнему используется в качестве основного инструмента в экспериментах по микробалансу Quartz Crystal (QCM) для преобразования частоты в массу и действителен практически во всех приложениях.

Уравнение получается путем обработки осажденной массы, как будто оно было расширением толщины базового кварца. Из -за этого корреляция массы к частоте (как определено уравнением Сауэрбри) в значительной степени не зависит от геометрии электродов. Это имеет преимущество в разрешении массового определения без калибровки, что делает настройку желательной с точки зрения затрат и инвестиций.

Уравнение Sauerbrey определяется как:

$\Delta f=-{\frac {2f_{0}^{2}}{A{\sqrt {\rho _{q}\mu _{q}}}}}\Delta m$

где:

$f_{0}$ - Резонансная частота фундаментального режима (Гц)

$\Delta f$ - нормализованное изменение частоты (Гц)

$\Delta m$ - Изменение массы (G)

$A$ - Пьезоэлектрически активная площадь кристалла (площадь между электродами, см. ² )

$\rho _{q}$ - Плотность кварца ( $\rho _{q}$ = 2,648 г/см ³ )

$\mu _{q}$ -Модуль сдвига кварца для вырезания кристалла ( $\mu _{q}$ = 2,947x10 ¹¹ G · см ⁻¹ · С ⁻² )

Нормализованная частота $\Delta f$ является номинальным сдвигом частоты этого режима, разделенного на его номер режима (большинство программных выходов по нормализованному сдвигу частоты по умолчанию). Поскольку пленка рассматривается как расширение толщины, уравнение Сауэрбри применяется только к системам, в которых выполняются следующие три условия: осажденная масса должна быть жесткой, депонированная масса должна распределяться равномерно и изменение частоты $\Delta f/f$ <0,05.

Если изменение частоты превышает 5%, то есть $\Delta f/f$ > 0,05, метод z-матча должен использоваться для определения изменения массы. Формула для метода z-матча:

${\frac {\Delta m}{A}}\ ={\frac {N_{q}\rho _{q}}{\pi Zf_{L}}}\tan ^{-1}\left[Z\tan \left(\pi {\frac {f_{U}-f_{L}}{f_{U}}}\right)\right]$

Уравнение 2-метод z-матча

$f_{L}$ - Частота загруженного кристалла (Гц)

$f_{U}$ - Частота разгруженного кристалла, то есть резонансная частота (Гц)

$N_{q}$ -Частотная постоянная для кристалла кварца (1,668x10 ¹³ Гц · до)

$\Delta m$ - Изменение массы (G)

$A$ - Пьезоэлектрически активная площадь кристалла (площадь между электродами, см. ² )

$\rho _{q}$ - Плотность кварца ( $\rho _{q}$ = 2,648 г/см ³ )

$Z$ -Z-фактор пленкового материала $={\sqrt {\left({\frac {\rho _{q}\mu _{q}}{\rho _{f}\mu _{f}}}\ \right)}}$

$\rho _{f}$ - Плотность пленки (варьируется: единицы g/cm ³ )

$\mu _{q}$ - Модуль сдвига кварца ( $\mu _{q}$ = 2,947x10 ¹¹ G · см ⁻¹ · С ⁻² )

$\mu _{f}$ - Модуль сдвига пленки (варьируется: единицы G · Cm ⁻¹ · С ⁻² )

Ограничения

Уравнение Sauerbrey было разработано для колебаний в воздухе и применяется только к жестким массам, прикрепленным к кристаллу. Было показано, что измерения микробаланса кварцевого кристалля могут быть выполнены в жидкости, и в этом случае будет наблюдаться снижение вязкости резонансной частоты:

$\Delta f={-\ f_{0}^{3/2}(\eta _{l}\rho _{l}/\pi \rho _{q}\mu _{q}n)^{1/2}}$

где $\rho _{l}$ плотность жидкости, $\eta _{l}$ это вязкость жидкости, и $n$ это номер режима.