Неравенство Бендиксона

В математике неравенство Бендиксона — это количественный результат в области матриц, полученный Иваром Бендиксоном в 1902 году. Неравенство накладывает ограничения на мнимую и действительную части характеристических корней (собственных значений) действительных матриц. Частный случай этого неравенства приводит к тому, что характеристические корни вещественной симметричной матрицы всегда вещественны.

Неравенство, относящееся к мнимым частям характеристических корней вещественных матриц (теорема I в ) указывается как:

Позволять $A=\left(a_{ij}\right)$ быть настоящим $n\times n$ матрица и $\alpha =\max _{1\leq i,j\leq n}{\frac {1}{2}}\left|a_{ij}-a_{ji}\right|$. Если $\lambda$ любой характеристический корень $A$, затем

$\left|\operatorname {Im} (\lambda )\right|\leq \alpha {\sqrt {\frac {n(n-1)}{2}}}.\,{}$

Если $A$ симметричен , то $\alpha =0$ и, следовательно, из неравенства следует, что $\lambda$ должно быть реальным.

Неравенство, относящееся к действительным частям характеристических корней вещественных матриц (теорема II в ) указывается как:

Позволять $m$ и $M$ — наименьший и наибольший характеристические корни ${\tfrac {A+A^{H}}{2}}$, затем

$m\leq \operatorname {Re} (\lambda )\leq M$.

См. также

• Теорема Гершгорина об окружности