формализм ГПО

Формализм оператора проекции истории (HPO) — это подход к временной квантовой логике, разработанный Крисом Ишемом . Он имеет дело с логической структурой квантовомеханических положений, высказанных в разные моменты времени.

Введение

В стандартной квантовой механике физическая система связана с гильбертовым пространством. ${\mathcal {H}}$. Состояния системы в фиксированный момент времени представляются нормализованными векторами в пространстве, а физические наблюдаемые представляются эрмитовыми операторами на ${\mathcal {H}}$.

Физическое предложение $\,P$ относительно системы в фиксированный момент времени может быть представлен оператором ортогонального проектирования ${\hat {P}}$ на ${\mathcal {H}}$ (См. квантовая логика ). Это представление связывает воедино операции решетки в решетке логических предложений и решетке операторов проектирования в гильбертовом пространстве (см. Квантовая логика ).

Формализм HPO является естественным расширением этих идей на предложения о системе, которые касаются более чем одного времени.

Предложения по истории

Однородные истории

Однородное историческое предложение $\,\alpha$ представляет собой последовательность одноразовых предложений $\alpha _{t_{i}}$ указано в разное время $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$. Эти времена называются временной опорой истории. Обозначим предложение $\,\alpha$ как $(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ и прочитай это как

" $\alpha _{t_{1}}$ во время $t_{1}$ это правда и тогда $\alpha _{t_{2}}$ во время $t_{2}$ это правда и тогда $\ldots$ а потом $\alpha _{t_{n}}$ во время $t_{n}$ это правда"

Неоднородные истории

Не все исторические пропозиции могут быть представлены последовательностью одновременных пропозиций в разное время. Это так называемые предположения о неоднородной истории . Примером может служить предложение $\,\alpha$ ИЛИ $\,\beta$ для двух однородных историй $\,\alpha ,\beta$.

Операторы проекции истории

Ключевым наблюдением формализма HPO является представление исторических предложений с помощью операторов проекции на историческое гильбертово пространство . Отсюда и произошло название «Оператор проецирования истории» (HPO).

Для однородной истории $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ мы можем использовать тензорное произведение для определения проектора

${\hat {\alpha }}:={\hat {\alpha }}_{t_{1}}\otimes {\hat {\alpha }}_{t_{2}}\otimes \ldots \otimes {\hat {\alpha }}_{t_{n}}$

где ${\hat {\alpha }}_{t_{i}}$ является оператором проектирования на ${\mathcal {H}}$ что представляет собой предложение $\alpha _{t_{i}}$ во время $t_{i}$.

Этот ${\hat {\alpha }}$ является оператором проектирования тензорного произведения «исторического гильбертова пространства». $H={\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}$

Не все операторы проекции на $H$ можно записать как сумму тензорных произведений вида ${\hat {\alpha }}$. Эти другие операторы проектирования используются для представления неоднородных историй путем применения операций решетки к однородным историям.

Временная квантовая логика

Представление исторических предложений с помощью проекторов в историческом гильбертовом пространстве естественным образом кодирует логическую структуру исторических предложений. Решётчатые . операции на множестве проекционных операций на историческое гильбертово пространство $H$ может применяться для моделирования решетки логических операций над историческими предложениями.

Если две однородные истории $\,\alpha$ и $\,\beta$ не имеют одной и той же временной поддержки, они могут быть изменены так, чтобы они имели. Если $\,t_{i}$ находится во временной поддержке $\,\alpha$ но не $\,\beta$ (например) тогда появляется новое однородное историческое положение, которое отличается от $\,\beta$ путем включения предложения «всегда верно» в каждый момент времени $\,t_{i}$ можно сформировать. Таким образом, временные опоры $\,\alpha ,\beta$ всегда можно присоединиться. Поэтому мы будем предполагать, что все однородные истории имеют одну и ту же временную основу.

Теперь мы представляем логические операции для однородных исторических предложений. $\,\alpha$ и $\,\beta$ такой, что ${\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}$

Союз (И)

Если $\alpha$ и $\beta$ две однородные истории, то суждение об истории» $\,\alpha$ и $\,\beta$" также является однородной историей. Ее представляет оператор проекции

${\widehat {\alpha \wedge \beta }}:={\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}$ $(={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }})$

Дизъюнкция (ИЛИ)

Если $\alpha$ и $\beta$ две однородные истории, то суждение об истории» $\,\alpha$ или $\,\beta$" вообще говоря, не является однородной историей. Она представлена ​​оператором проекции

${\widehat {\alpha \vee \beta }}:={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}-{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}$

Отрицание (НЕ)

Операция отрицания в решетке операторов проектирования принимает ${\hat {P}}$ к

$\neg {\hat {P}}:=\mathbb {I} -{\hat {P}}$

где $\mathbb {I}$ — тождественный оператор в гильбертовом пространстве. Таким образом, проектор использовался для представления предложения $\neg \alpha$ (т.е. «не $\alpha$") является

${\widehat {\neg \alpha }}:=\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}.$

Пример: Двукратная история

В качестве примера рассмотрим отрицание предложения о двувременной однородной истории. $\,\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2})$. Проектор, представляющий предложение $\neg \alpha$ является

${\widehat {\neg \alpha }}=\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1}\otimes {\hat {\alpha }}_{2}$ $=(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}+{\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})+(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})$

Термины, которые встречаются в этом выражении:

• $(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes {\hat {\alpha }}_{2}$
• ${\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})$
• $(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})$.

каждое из них можно интерпретировать следующим образом:

• $\,\alpha _{1}$ является ложным и $\,\alpha _{2}$ это правда
• $\,\alpha _{1}$ это правда и $\,\alpha _{2}$ ложно
• оба $\,\alpha _{1}$ является ложным и $\,\alpha _{2}$ ложно

Эти три однородные истории, соединенные операцией ИЛИ, включают в себя все возможности того, как предложение $\,\alpha _{1}$ а потом $\,\alpha _{2}$«может быть ложным. Таким образом, мы видим, что определение ${\widehat {\neg \alpha }}$ согласен с тем, с чем предложение $\neg \alpha$ должно означать.

Ссылки

• К. Дж. Ишам, Квантовая логика и исторический подход к квантовой теории , J. Math. Физ. 35 (1994) 2157–2185, arXiv:gr-qc/9308006v1