Центральная предельная теорема для направленной статистики

В теории вероятностей центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых среднее значение достаточно большого числа независимых случайных величин , каждая из которых имеет конечное среднее значение и дисперсию, будет примерно нормально распределено .

Статистика направлений — это раздел статистики , который занимается направлениями ( единичные векторы в R ^н ), оси (линии, проходящие через начало координат в R ^н ) или вращения в R ^н . Все средние значения и дисперсии направленных величин конечны, так что центральная предельная теорема может быть применена к частному случаю направленной статистики.

В этой статье будут рассмотрены только единичные векторы в 2-мерном пространстве ( R ² ), но описанный метод можно распространить на общий случай.

Центральная предельная теорема

Образец углов $\theta _{i}$ измеряются, и поскольку они неопределенны с точностью до фактора $2\pi$, комплексная определенная величина $z_{i}=e^{i\theta _{i}}=\cos(\theta _{i})+i\sin(\theta _{i})$ используется как случайная величина. Распределение вероятностей, из которого извлекается выборка, может характеризоваться моментами, которые могут быть выражены в декартовой и полярной форме:

$m_{n}=E(z^{n})=C_{n}+iS_{n}=R_{n}e^{i\theta _{n}}\,$

Отсюда следует, что:

$C_{n}=E(\cos(n\theta ))\,$

$S_{n}=E(\sin(n\theta ))\,$

$R_{n}=|E(z^{n})|={\sqrt {C_{n}^{2}+S_{n}^{2}}}\,$

$\theta _{n}=\arg(E(z^{n}))\,$

Выборочные моменты для N испытаний:

${\overline {m_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}={\overline {C_{n}}}+i{\overline {S_{n}}}={\overline {R_{n}}}e^{i{\overline {\theta _{n}}}}$

где

${\overline {C_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\cos(n\theta _{i})$

${\overline {S_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sin(n\theta _{i})$

${\overline {R_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|z_{i}^{n}|$

${\overline {\theta _{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\arg(z_{i}^{n})$

Вектор [ ${\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}$] может использоваться как представление выборочного среднего значения $({\overline {m_{1}}})$ и может быть принят как двумерная случайная величина. Двумерная центральная предельная теорема утверждает, что совместное распределение вероятностей для ${\overline {C_{1}}}$ и ${\overline {S_{1}}}$ в пределе большого числа выборок определяется выражением:

$[{\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}]{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}([C_{1},S_{1}],\Sigma /N)$

где ${\mathcal {N}}()$ - двумерное нормальное распределение и $\Sigma$ — ковариационная матрица для кругового распределения :

$\Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{CC}&\sigma _{CS}\\\sigma _{SC}&\sigma _{SS}\end{bmatrix}}\quad$

$\sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}\,$

$\sigma _{CS}=\sigma _{SC}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )\,$

$\sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}\,$

Обратите внимание, что двумерное нормальное распределение определяется по всей плоскости, а среднее значение ограничено единичным шаром (на единичном круге или внутри него). Это означает, что интеграл предельного (двумерного нормального) распределения по единичному шару не будет равен единице, а будет приближаться к единице по мере того, как N приближается к бесконечности.

Предельное двумерное распределение желательно сформулировать через моменты распределения.

Ковариационная матрица в моментах

Использование многоугольных тригонометрических тождеств

$C_{2}=E(\cos(2\theta ))=E(\cos ^{2}\theta -1)=E(1-\sin ^{2}\theta )\,$

$S_{2}=E(\sin(2\theta ))=E(2\cos \theta \sin \theta )\,$

Отсюда следует, что:

$\sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1+C_{2}-2C_{1}^{2}\right)$

$\sigma _{CS}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )={\frac {1}{2}}\left(S_{2}-2C_{1}S_{1}\right)$

$\sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-C_{2}-2S_{1}^{2}\right)$

Ковариационная матрица теперь выражается через моменты кругового распределения.

Центральную предельную теорему можно также выразить через полярные компоненты среднего. Если $P({\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}})d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}$ - вероятность найти среднее значение элемента площади $d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}$, то эту вероятность можно также записать $P({\overline {R_{1}}}\cos({\overline {\theta _{1}}}),{\overline {R_{1}}}\sin({\overline {\theta _{1}}})){\overline {R_{1}}}d{\overline {R_{1}}}d{\overline {\theta _{1}}}$.