Причинный фильтр

При обработке сигналов представляет причинный фильтр собой линейную и не зависящую от времени причинную систему . Слово «каузальный» указывает на то, что выходной сигнал фильтра зависит только от прошлых и настоящих входных данных. Фильтр , выходной сигнал которого также зависит от будущих входных данных, является некаузальным , тогда как фильтр, выходной сигнал которого зависит только от будущих входных данных, является антикаузальным . Системы (включая фильтры), которые реализуемы (т.е. которые работают в реальном времени ), должны быть причинными, поскольку такие системы не могут действовать на будущие входные данные. По сути, это означает, что выходная выборка, которая лучше всего представляет входные данные в данный момент времени. $t,$ выходит чуть позже. Обычной практикой проектирования цифровых фильтров является создание реализуемого фильтра путем сокращения и/или смещения во времени беспричинной импульсной характеристики. Если сокращение необходимо, оно часто осуществляется как результат импульсной реакции с функцией окна .

Примером антикаузального фильтра является фильтр максимальной фазы , который можно определить как стабильный антикаузальный фильтр, обратный которому также является стабильным и антикаузальным.

Пример

Следующее определение представляет собой скользящее или скользящее среднее входных данных. $s(x)\,$ . Постоянный фактор 1 ⁄ 2 опущено для простоты:

f(x)=\int _{x-1}^{x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,

где $x$ может представлять пространственную координату, как при обработке изображений. Но если $x$ представляет время $(t)\,$ , то определенное таким образом скользящее среднее является непричинным (также называемым нереализуемым ), поскольку $f(t)\,$ зависит от будущих входных данных, таких как $s(t+1)\,$ . Реализуемый результат – это

f(t-1)=\int _{-2}^{0}s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,

который представляет собой отложенную версию нереализуемого результата.

Любой линейный фильтр (например, скользящее среднее) можно охарактеризовать функцией h ( t ), называемой его импульсной характеристикой . Его результатом является свертка

f(t)=(h*s)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau .\,

В этих терминах причинность требует

f(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau

и общее равенство этих двух выражений требует h ( t ) = 0 для всех t < 0.

Характеристика причинных фильтров в частотной области

Пусть h ( t ) — причинный фильтр с соответствующим преобразованием Фурье H (ω). Определите функцию

g(t)={h(t)+h^{*}(-t) \over 2}

что не является причинным. С другой стороны, g ( t ) эрмитова и, следовательно, ее преобразование Фурье G (ω) вещественнозначно. Теперь у нас есть следующее соотношение

h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,

где Θ( t ) — единичная ступенчатая функция Хевисайда .

Это означает, что преобразования Фурье h ( t ) и g ( t ) связаны следующим образом

H(\omega )=\left(\delta (\omega )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,

где ${\widehat {G}}(\omega )\,$ представляет собой преобразование Гильберта , выполняемое в частотной области (а не во временной области). Знак ${\widehat {G}}(\omega )\,$ может зависеть от определения преобразования Фурье.

Преобразование Гильберта приведенного выше уравнения дает следующее соотношение между «H» и его преобразованием Гильберта:

{\widehat {H}}(\omega )=iH(\omega )

Ссылки

Пресс, Уильям Х.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (сентябрь 2007 г.), Числовые рецепты (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 767, ISBN 9780521880688
Роуэлл (январь 2009 г.), Определение причинно-следственной связи системы по ее частотной характеристике (PDF) , MIT OpenCourseWare