Состояние Линдеберга

В вероятностей теории условие Линдеберга является достаточным условием (а при определенных условиях также и необходимым условием) выполнения центральной предельной теоремы (ЦПТ) для последовательности независимых случайных величин . В отличие от классической CLT, которая требует, чтобы рассматриваемые случайные величины имели конечную дисперсию , были независимыми и одинаково распределенными , CLT Линдеберга требует только, чтобы они имели конечную дисперсию, удовлетворяли условию Линдеберга и были независимыми . Оно названо в честь финского математика Ярла Вальдемара Линдеберга .

Заявление

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ быть вероятностным пространством и $X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\in \mathbb {N}$, — независимые случайные величины, определенные в этом пространстве. Предположим ожидаемые значения $\mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}$ и отклонения $\mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _{k}^{2}$ существуют и конечны. Также пусть $s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.$

Если эта последовательность независимых случайных величин $X_{k}$ удовлетворяет условию Линдеберга :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0$

для всех $\varepsilon >0$, где 1 _{…} – индикаторная функция , то имеет место центральная предельная теорема , т.е. случайные величины

$Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}$

сходятся по распределению к стандартной нормальной случайной величине как $n\to \infty .$

Условие Линдеберга является достаточным, но, вообще говоря, не необходимым (т. е. обратная импликация, вообще говоря, не выполняется).Однако если рассматриваемая последовательность независимых случайных величин удовлетворяет условию

$\max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ as }}n\to \infty ,$

тогда условие Линдеберга является одновременно достаточным и необходимым, т. е. оно выполняется тогда и только тогда, когда справедлив результат центральной предельной теоремы.

Примечания

Теорема Феллера

Теорему Феллера можно использовать как альтернативный метод доказательства выполнения условия Линдеберга. Сдача в аренду $S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}$ и для простоты $\mathbb {E} \,[X_{k}]=0$, теорема утверждает

если $\forall \varepsilon >0$, $\lim _{n\rightarrow \infty }\max _{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\varepsilon s_{n})=0$ и ${\frac {S_{n}}{s_{n}}}$ слабо сходится к стандартному нормальному распределению как $n\rightarrow \infty$ затем $X_{k}$ удовлетворяет условию Линдеберга.

Эту теорему можно использовать для опровержения центральной предельной теоремы, справедливой для $X_{k}$ используя доказательство от противного . Эта процедура предполагает доказательство того, что условие Линдеберга не выполняется для $X_{k}$.

Интерпретация

Поскольку из условия Линдеберга следует $\max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0$ как $n\to \infty$, это гарантирует, что вклад любой отдельной случайной величины $X_{k}$ ( $1\leq k\leq n$) к дисперсии $s_{n}^{2}$ сколь угодно мало, при достаточно больших значениях $n$.

Пример

Рассмотрим следующий информативный пример, удовлетворяющий условию Линдеберга. Позволять $\xi _{i}$ быть последовательностью нулевого среднего, дисперсии 1 iid случайных величин и $a_{i}$ неслучайная последовательность, удовлетворяющая:

$$\max _{i}^{n}{\frac {|a_{i}|}{\|a_{i}\|_{2}}}\rightarrow 0$$

Теперь определим нормализованные элементы линейной комбинации:

$$X_{n,i}={\frac {a_{i}\xi _{i}}{\|a\|_{2}}}$$

которое удовлетворяет условию Линдеберга:

$$\sum _{i}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1(|X_{i}|>\varepsilon )\right]\leq \sum _{i}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]=\mathbb {E} \left[\left|\xi _{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]$$

но $\xi _{i}^{2}$ конечно, поэтому согласно ДКП и условию на $a_{i}$ у нас есть это значение равно 0 для каждого $\varepsilon$.

См. также

• условие Ляпунова
• Центральная предельная теорема