Странное расщепление

В прикладной математике расщепление Стрэнга — это численный метод решения дифференциальных уравнений , разложимых в сумму дифференциальных операторов. Он назван в честь Гилберта Стрэнга . Он используется для ускорения вычислений для задач, включающих операторов в самых разных временных масштабах, например, химических реакций в гидродинамике, а также для решения многомерных уравнений в частных производных путем сведения их к сумме одномерных задач.

Методы дробного шага [ править ]

В качестве предшественника расщепления Стрэнга рассмотрим дифференциальное уравнение вида

{\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})+L_{2}({y})

где $L_{1}$ , $L_{2}$ являются дифференциальными операторами . Если $L_{1}$ и $L_{2}$ если бы матрицы постоянных коэффициентов, то точное решение соответствующей задачи начального значения было бы

y(t)=e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}

.

Если $L_{1}$ и $L_{2}$ коммутируют, то по экспоненциальным законам это эквивалентно

y(t)=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}

.

Если это не так, то по формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа все еще можно заменить экспоненту суммы произведением экспонент ценой ошибки второго порядка:

e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}+{\mathcal {O}}(t^{2})

.

При этом возникает численная схема, в которой вместо решения исходной исходной задачи решаются поочередно обе подзадачи:

{\tilde {y}}_{1}=e^{L_{1}\Delta t}y_{0}

y_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{1}

{\tilde {y}}_{2}=e^{L_{1}\Delta t}y_{1}

y_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}

и т. д.

В данном контексте, $e^{L_{1}\Delta t}$ представляет собой численную схему решения подзадачи

{\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})

сделать первый заказ. Подход не ограничивается линейными задачами, т.е. $L_{1}$ может быть любым дифференциальным оператором.

Странное расщепление [ править ]

Разделение Стрэнга расширяет этот подход до второго порядка, выбирая другой порядок операций. Вместо того, чтобы выполнять полный рабочий день с каждым оператором, вместо этого каждый выполняет временные шаги следующим образом:

{\tilde {y}}_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{0}

{\bar {y}}_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{1}

y_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{1}

{\tilde {y}}_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{1}

{\bar {y}}_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}

y_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{2}

и т. д.

Можно доказать, что расщепление Стрэнга имеет второй порядок, используя формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, анализ корневого дерева или прямое сравнение членов ошибок с использованием расширения Тейлора. Чтобы схема имела второй порядок точности, $e^{\cdots }$ также должно быть приближением второго порядка к оператору решения.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Стрэнг, Гилберт. О построении и сравнении разностных схем . Журнал SIAM по численному анализу 5.3 (1968): 506–517. дои : 10.1137/0705041
Маклахлан, Роберт И. и Г. Рейнаут В. Квиспель. Методы разделения. Acta Numerica 11 (2002): 341–434. дои : 10.1017/S0962492902000053
ЛеВек, Рэндалл Дж. , Методы конечного объема для гиперболических задач . Том. 31. Издательство Кембриджского университета, 2002. (pbk). ISBN 0-521-00924-3 )