Неравенство Итона

В теории вероятностей неравенство Итона является ограничением наибольшего значения линейной комбинации ограниченных случайных величин . Это неравенство было описано в 1974 году Моррисом Л. Итоном.

Формулировка неравенства

Пусть { X _i } — набор реальных независимых случайных величин, каждая из которых имеет математическое ожидание , равное нулю и ограничена сверху единицей ( | X _i | ≤ 1, для 1 ≤ i ≤ n ). Варианты не обязательно должны быть одинаково или симметрично распределены. Пусть { a _i } — набор из n фиксированных действительных чисел с

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1.$

Итон показал, что

$P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\inf _{0\leq c\leq k}\int _{c}^{\infty }\left({\frac {z-c}{k-c}}\right)^{3}\phi (z)\,dz=2B_{E}(k),$

где φ ( x ) — функция плотности вероятности стандартного нормального распределения .

Связанная граница - это граница Эдельмана.

$P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\left(1-\Phi \left[k-{\frac {1.5}{k}}\right]\right)=2B_{Ed}(k),$

где Φ( x ) — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения.

Пинелис показал, что границу Итона можно уточнить:

$B_{EP}=\min\{1,k^{-2},2B_{E}\}$

Определен набор критических значений границы Итона.

Связанные неравенства

Пусть { a _i } — набор независимых случайных величин Радемахера – P ( a _i = 1 ) = P ( a _i = −1 ) = 1/2. Пусть Z — нормально распределенная переменная со средним значением 0 и дисперсией 1. Пусть { b _i } — набор из n фиксированных действительных чисел такой, что

$\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1.$

Это последнее условие требуется теоремой Рисса – Фишера , которая утверждает, что

$a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}$

сходится тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

конечно.

Затем

$Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq Ef(Z)$

для ж (х) = | х | ^п . Случай p ≥ 3 был доказан Уиттлом. и p ≥ 2 было доказано Хаагерупом.

Если f (x) = e ^λx при λ ≥ 0, то

$Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq \inf \left[{\frac {E(e^{\lambda Z})}{e^{\lambda x}}}\right]=e^{-x^{2}/2}$

где inf — нижняя грань .

Позволять

$S_{n}=a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}$

Затем

$P(S_{n}\geq x)\leq {\frac {2e^{3}}{9}}P(Z\geq x)$

Константа в последнем неравенстве равна примерно 4,4634.

Альтернативная граница также известна:

$P(S_{n}\geq x)\leq e^{-x^{2}/2}$

Эта последняя оценка связана с неравенством Хеффдинга .

В равномерном случае, когда все b _i = n ^−1/2 максимальное значение S _n равно n ^1/2 . В этом случае ван Зейлен показал, что

$P(|\mu -\sigma |)\leq 0.5\,$

где μ — среднее значение , а σ — стандартное отклонение суммы.