скаляр Вейля

В Ньюмана-Пенроуза (NP) общей теории относительности формализме скаляры Вейля относятся к набору из пяти комплексных скаляров. $\{\Psi _{0},\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\Psi _{4}\}$ которые кодируют десять независимых компонентов тензора Вейля четырехмерного пространства-времени .

Определения

Учитывая сложную нулевую тетраду $\{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}$ и с конвенцией $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$скаляры Вейля-NP определяются формулой

$\Psi _{0}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }m^{\beta }l^{\gamma }m^{\delta }\ ,$

$\Psi _{1}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }n^{\beta }l^{\gamma }m^{\delta }\ ,$

$\Psi _{2}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }m^{\beta }{\bar {m}}^{\gamma }n^{\delta }\ ,$

$\Psi _{3}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }l^{\alpha }n^{\beta }{\bar {m}}^{\gamma }n^{\delta }\ ,$

$\Psi _{4}:=C_{\alpha \beta \gamma \delta }n^{\alpha }{\bar {m}}^{\beta }n^{\gamma }{\bar {m}}^{\delta }\ .$

Примечание. Если принять конвенцию $\{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}$, определения $\Psi _{i}$ должен принимать противоположные значения; то есть, $\Psi _{i}\mapsto -\Psi _{i}$ после перехода подписи.

Альтернативные производные

См. Также: уравнения поля Ньюмана – Пенроуза.

Согласно приведенным выше определениям, необходимо выяснить тензоры Вейля перед вычислением скаляров Вейля-NP посредством сокращений с соответствующими векторами тетрад. Однако этот метод не полностью отражает дух формализма Ньюмана–Пенроуза . В качестве альтернативы можно сначала вычислить спиновые коэффициенты , а затем использовать уравнения поля NP для получения пяти скаляров Вейля-NP.

$\Psi _{0}=D\sigma -\delta \kappa -(\rho +{\bar {\rho }})\sigma -(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma +(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa \,,$

$\Psi _{1}=D\beta -\delta \varepsilon -(\alpha +\pi )\sigma -({\bar {\rho }}-{\bar {\varepsilon }})\beta +(\mu +\gamma )\kappa +({\bar {\alpha }}-{\bar {\pi }})\varepsilon \,,$

$\Psi _{2}={\bar {\delta }}\tau -\Delta \rho -(\rho {\bar {\mu }}+\sigma \lambda )+({\bar {\beta }}-\alpha -{\bar {\tau }})\tau +(\gamma +{\bar {\gamma }})\rho +\nu \kappa -2\Lambda \,,$

$\Psi _{3}={\bar {\delta }}\gamma -\Delta \alpha +(\rho +\varepsilon )\nu -(\tau +\beta )\lambda +({\bar {\gamma }}-{\bar {\mu }})\alpha +({\bar {\beta }}-{\bar {\tau }})\gamma \,.$

$\Psi _{4}=\delta \nu -\Delta \lambda -(\mu +{\bar {\mu }})\lambda -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\lambda +(3\alpha +{\bar {\beta }}+\pi -{\bar {\tau }})\nu \,.$

где $\Lambda$ (используется для $\Psi _{2}$) относится к скаляру кривизны NP $\Lambda :={\frac {R}{24}}$ который можно вычислить непосредственно из метрики пространства-времени $g_{ab}$.

Физическая

Колесница (1965) дал интерпретацию различных скаляров Вейля на больших расстояниях:

$\Psi _{2}$ — «кулоновский» член, обозначающий гравитационный монополь источника;

$\Psi _{1}$ & $\Psi _{3}$ – входящие и исходящие «продольные» радиационные члены;

$\Psi _{0}$ & $\Psi _{4}$ - это входящие и исходящие «поперечные» условия излучения.

Для общего асимптотически плоского пространства-времени, содержащего излучение ( тип Петрова I), $\Psi _{1}$ & $\Psi _{3}$ может быть преобразовано в ноль путем соответствующего выбора нулевой тетрады. Таким образом, их можно рассматривать как калибровочные величины.

Особенно важным случаем является скаляр Вейля $\Psi _{4}$.Можно показать, что исходящее гравитационное излучение (в асимптотически плоском пространстве-времени) описывается как

$\Psi _{4}={\frac {1}{2}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)+i{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\ddot {h}}_{+}+i{\ddot {h}}_{\times }\ .$

Здесь, $h_{+}$ и $h_{\times }$ — это «плюсовая» и «перекрестная» поляризации гравитационного излучения, а двойные точки представляют собой двойную дифференциацию во времени.

Однако существуют определенные примеры, в которых приведенная выше интерпретация не работает. Это точные вакуумные решения уравнений поля Эйнштейна с цилиндрической симметрией. Например, статический (бесконечно длинный) цилиндр может создавать гравитационное поле, которое имеет не только ожидаемую «кулоновскую» составляющую Вейля. $\Psi _{2}$, но и неисчезающие компоненты «поперечной волны» $\Psi _{0}$ и $\Psi _{4}$. Более того, чисто исходящие волны Эйнштейна-Розена имеют ненулевую компоненту «входящей поперечной волны». $\Psi _{0}$.

См. также

• Скаляры Вейля-NP и Риччи-NP