Рассеяние фононов

Фононы могут рассеиваться посредством нескольких механизмов при прохождении через материал. Этими механизмами рассеяния являются: фонон-фононное рассеяние переброса , рассеяние на фононах-примесях, рассеяние фононов-электронов и рассеяние на границе фононов. Каждый механизм рассеяния можно охарактеризовать скоростью релаксации 1/ $\tau$ которое является обратным соответствующему времени релаксации.

Все процессы рассеяния можно учесть с помощью правила Маттиссена . Тогда суммарное время релаксации $\tau _{C}$ можно записать как:

${\frac {1}{\tau _{C}}}={\frac {1}{\tau _{U}}}+{\frac {1}{\tau _{M}}}+{\frac {1}{\tau _{B}}}+{\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}$

Параметры $\tau _{U}$, $\tau _{M}$, $\tau _{B}$, $\tau _{\text{ph-e}}$ обусловлены рассеянием переброса, масс-разностным рассеянием на примесях, граничным рассеянием и фонон-электронным рассеянием соответственно.

Фонон-фононное рассеяние

При фонон-фононном рассеянии эффекты нормальных процессов (процессов, сохраняющих волновой вектор фонона - N-процессов) игнорируются в пользу процессов переброса (U-процессов). Поскольку нормальные процессы изменяются линейно с $\omega$ и процессы umklapp различаются в зависимости от $\omega ^{2}$, рассеяние переброса доминирует на высоких частотах. $\tau _{U}$ дается:

${\frac {1}{\tau _{U}}}=2\gamma ^{2}{\frac {k_{B}T}{\mu V_{0}}}{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{D}}}$

где $\gamma$ — параметр ангармоничности Грюнайзена , μ — модуль сдвига , V ₀ — объём, приходящийся на атом, и $\omega _{D}$ — частота Дебая .

Трехфононный и четырехфононный процесс

Обычно считалось, что тепловой перенос в неметаллических твердых телах определяется процессом трехфононного рассеяния: считалось, что роль четырехфононных процессов рассеяния и процессов рассеяния более высокого порядка пренебрежимо мала. Недавние исследования показали, что четырехфононное рассеяние может быть важным практически для всех материалов при высоких температурах. и для некоторых материалов при комнатной температуре. Предсказанная значимость четырехфононного рассеяния в арсениде бора подтверждена экспериментами.

Рассеяние на примесях по разности масс

Рассеяние на примесях по разности масс определяется выражением:

${\frac {1}{\tau _{M}}}={\frac {V_{0}\Gamma \omega ^{4}}{4\pi v_{g}^{3}}}$

где $\Gamma$ является мерой силы рассеяния примеси. Обратите внимание, что ${v_{g}}$ зависит от дисперсионных кривых.

Граничное рассеяние

Граничное рассеяние особенно важно для низкоразмерных наноструктур , и скорость его релаксации определяется выражением:

${\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {v_{g}}{L_{0}}}(1-p)$

где $L_{0}$ - характерная длина системы и $p$ представляет собой долю зеркально рассеянных фононов. $p$ параметр нелегко вычислить для произвольной поверхности. Для поверхности, характеризующейся среднеквадратичной шероховатостью $\eta$, зависящее от длины волны значение для $p$ можно рассчитать с помощью

$p(\lambda )=\exp {\Bigg (}-16{\frac {\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\eta ^{2}\cos ^{2}\theta {\Bigg )}$

где $\theta$ это угол падения. Дополнительный фактор $\pi$ иногда ошибочно включается в показатель степени приведенного выше уравнения. При нормальной заболеваемости, $\theta =0$, идеально зеркальное рассеяние (т.е. $p(\lambda )=1$) потребует сколь угодно большой длины волны или, наоборот, сколь угодно малой шероховатости. Чисто зеркальное рассеяние не приводит к увеличению термического сопротивления, связанному с границей. Однако в диффузионном пределе при $p=0$ скорость релаксации становится

${\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {v_{g}}{L_{0}}}$

Это уравнение также известно как предел Казимира.

Эти феноменологические уравнения во многих случаях могут точно моделировать теплопроводность изотропных наноструктур с характерными размерами порядка длины свободного пробега фононов. Как правило, необходимы более детальные расчеты, чтобы полностью уловить взаимодействие фононов и границ во всех соответствующих колебательных модах в произвольной структуре.

Фононно-электронное рассеяние

Фононно-электронное рассеяние также может внести свой вклад, когда материал сильно легирован. Соответствующее время релаксации определяется как:

${\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}={\frac {n_{e}\epsilon ^{2}\omega }{\rho v_{g}^{2}k_{B}T}}{\sqrt {\frac {\pi m^{*}v_{g}^{2}}{2k_{B}T}}}\exp \left(-{\frac {m^{*}v_{g}^{2}}{2k_{B}T}}\right)$

Параметр $n_{e}$ – концентрация электронов проводимости, ε – потенциал деформации, ρ – массовая плотность и m* – эффективная масса электрона. Обычно полагают, что вклад в теплопроводность пренебрежимо мал. фонон-электронного рассеяния .

См. также

• Решётчатое рассеяние
• Рассеяние переброса
• Электронно-продольное акустическое фононное взаимодействие