Электронно-продольное акустическое фононное взаимодействие

Электронно -продольное акустическое фононное взаимодействие — это взаимодействие, которое может иметь место между электроном и продольным акустическим (LA) фононом в таком материале, как полупроводник .

Оператор смещения LA-фонона

Уравнения движения атомов массы M, находящихся в периодической решетке, имеют вид

$M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}u_{n}=-k_{0}(u_{n-1}+u_{n+1}-2u_{n})$,

где $u_{n}$ – смещение n- го атома из положения равновесия .

Определение смещения $u_{\ell }$ принадлежащий $\ell$атом $u_{\ell }=x_{\ell }-\ell a$, где $x_{\ell }$ это координаты $\ell$атом и $a$ — постоянная решетки ,

смещение определяется выражением $u_{l}=Ae^{i(q\ell a-\omega t)}$

Затем используя преобразование Фурье :

$Q_{q}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\ell }u_{\ell }e^{-iqa\ell }$

и

$u_{\ell }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{q}Q_{q}e^{iqa\ell }$.

С $u_{\ell }$ является оператором Эрмита,

$u_{\ell }={\frac {1}{2{\sqrt {N}}}}\sum _{q}(Q_{q}e^{iqa\ell }+Q_{q}^{\dagger }e^{-iqa\ell })$

Из определения оператора рождения и уничтожения $a_{q}^{\dagger }={\frac {q}{\sqrt {2M\hbar \omega _{q}}}}(M\omega _{q}Q_{-q}-iP_{q}),\;a_{q}={\frac {q}{\sqrt {2M\hbar \omega _{q}}}}(M\omega _{q}Q_{-q}+iP_{q})$

$Q_{q}$ написано как

$Q_{q}={\sqrt {\frac {\hbar }{2M\omega _{q}}}}(a_{-q}^{\dagger }+a_{q})$

Затем $u_{\ell }$ выражается как

$u_{\ell }=\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(a_{q}e^{iqa\ell }+a_{q}^{\dagger }e^{-iqa\ell })$

Следовательно, используя модель континуума, оператор смещения для трехмерного случая равен

$u(r)=\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}e_{q}[a_{q}e^{iq\cdot r}+a_{q}^{\dagger }e^{-iq\cdot r}]$,

где $e_{q}$ – единичный вектор вдоль направления смещения.

Гамильтониан взаимодействия

Гамильтониан электрон-продольного акустического фононного взаимодействия определяется как $H_{\text{el}}$

$H_{\text{el}}=D_{\text{ac}}{\frac {\delta V}{V}}=D_{\text{ac}}\,\mathop {\rm {div}} \,u(r)$,

где $D_{\text{ac}}$ – деформационный потенциал рассеяния электронов на акустических фононах .

Вставка вектора смещения в результаты гамильтониана для

$H_{\text{el}}=D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(ie_{q}\cdot q)[a_{q}e^{iq\cdot r}-a_{q}^{\dagger }e^{-iq\cdot r}]$

Вероятность рассеяния

Вероятность рассеяния электронов от $|k\rangle$ к $|k'\rangle$ государства

$P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\mid \langle k',q'|H_{\text{el}}|\ k,q\rangle \mid ^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}]$

$={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}(ie_{q}\cdot q){\sqrt {n_{q}+{\frac {1}{2}}\mp {\frac {1}{2}}}}\,{\frac {1}{L^{3}}}\int d^{3}r\,u_{k'}^{\ast }(r)u_{k}(r)e^{i(k-k'\pm q)\cdot r}\right|^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}]$

Замените интеграл по всему пространству суммой интегрирований элементарной ячейки.

$P(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\left(D_{\text{ac}}\sum _{q}{\sqrt {\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}}|q|{\sqrt {n_{q}+{\frac {1}{2}}\mp {\frac {1}{2}}}}\,I(k,k')\delta _{k',k\pm q}\right)^{2}\delta [\varepsilon (k')-\varepsilon (k)\mp \hbar \omega _{q}],$

где $I(k,k')=\Omega \int _{\Omega }d^{3}r\,u_{k'}^{\ast }(r)u_{k}(r)$, $\Omega$ - объем элементарной ячейки .

$P(k,k')={\begin{cases}{\frac {2\pi }{\hbar }}D_{\text{ac}}^{2}{\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}|q|^{2}n_{q}&(k'=k+q;{\text{absorption}}),\\{\frac {2\pi }{\hbar }}D_{\text{ac}}^{2}{\frac {\hbar }{2MN\omega _{q}}}|q|^{2}(n_{q}+1)&(k'=k-q;{\text{emission}}).\end{cases}}$

См. также

• Рассеяние фононов
• Рассеяние переброса

Ссылки

• Хамагути, Тихиро (2017). Основы физики полупроводников . Тексты для аспирантов по физике (3-е изд.). Спрингер. стр. 265–363. дои : 10.1007/978-3-319-66860-4 . ISBN  978-3-319-88329-8 .
• Ю, Питер Ю.; Кардона, Мануэль (2005). Основы полупроводников (3-е изд.). Спрингер.