Уравнение Луджиато – Лефевера

Численные модели лазеров и большинства нелинейно-оптических систем основаны на уравнениях Максвелла-Блоха (MBE). Этот полный набор уравнений в частных производных включает уравнения Максвелла для электромагнитного поля и полуклассические уравнения двухуровневых (или многоуровневых) атомов. По этой причине с первых лет лазерной эры были разработаны упрощенные теоретические подходы для численного моделирования формирования и распространения лазерных лучей. Приближение медленно меняющейся огибающей MBE следует из стандартного нелинейного волнового уравнения с нелинейной поляризацией. $\mathbf {P} ^{\text{NL}}$ как источник:

$\nabla ^{2}{\cal {E({\vec {r}},t)}}-{\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\cal {E({\vec {r}},t)}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}},$ где : ${\cal {E}}({\vec {r}},t)\propto E({\vec {r}}_{\perp },z,t)e^{i(nk_{0})(z-ct)}+{\text{c.c.}}$

что приводит к стандартному «параболическому» волновому уравнению:

${\frac {\partial E}{\partial z}}+{\frac {\;\omega _{0}\ }{k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial E}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2k_{0}}}\ i\ \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {1}{\varepsilon _{0}k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}~$, при условиях:

$\displaystyle \left|\ \nabla ^{2}E\ \right|\ll \left|\ k_{0}\nabla E\ \right|$   и   $\displaystyle \left|\ {\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}\ \right|\ll \left|\ \omega _{0}\,{\frac {\partial E}{\partial t}}\ \right|\$ .

Усреднение по продольной координате $z$ результаты в «среднем поле» Уравнение Сучкова-Летохова (УЛЭ), описывающее нестационарную эволюцию картины поперечных мод.

Модель, обычно обозначаемая как уравнение Луджиато-Лефевера (LLE), была сформулирована в 1987 году Луиджи Луджиато и Рене Лефевером. как парадигма спонтанного формирования структур в нелинейных оптических системах. Паттерны возникают в результате взаимодействия когерентного поля, инжектируемого в резонансную оптическую полость, с керровской средой, заполняющей полость.

Одно и то же уравнение определяет два типа узоров: стационарные узоры, возникающие в плоскостях, ортогональных направлению распространения света ( поперечные узоры ), и узоры, образующиеся в продольном направлении ( продольные узоры ), перемещающиеся вдоль полости со скоростью света в среде и порождают последовательность импульсов на выходе из резонатора.

Случай продольных структур неразрывно связан с явлением « гребёнок частот Керра » в микрорезонаторах, открытым в 2007 году Тобиасом Киппенбергом и его сотрудниками. это вызвало очень живой интерес, особенно из-за открываемых им прикладных возможностей.

Уравнение ЛЛЭ

На рисунке 1 показан световой луч, распространяющийся в $z$ направлении, в то время как $x$ и $y$ являются поперечными направлениями. Если предположить, что электрическое поле как ${\cal {E}}(x,y,z,t)$, где $t$ обозначает время, линейно поляризовано и поэтому может рассматриваться как скаляр, мы можем выразить его через медленно меняющуюся нормализованную комплексную огибающую $E(x,y,z,t)$ таким образом

Рисунок 1. Световой луч распространяется вдоль $z$ направление. $x$ и $y$ поперечные направления

${\cal {E}}(x,y,z,t)\propto E(x,y,z,t)e^{i(\omega _{0}/{\tilde {c}})(z-{\tilde {c}}t)}+{\text{c.c.}}$

где $\omega _{0}$ - частота светового луча, инжектируемого в полость, и ${\tilde {c}}$ скорости света в керровской среде, заполняющей полость. Для определенности рассмотрим кольцевой резонатор (рис. 2) очень высокого качества (резонатор High-Q).

Рис. 2. Вид кольцевой полости сверху.

В оригинальном LLE предполагаются такие условия, что оболочка $E$ не зависит от продольной переменной $z$ (т.е. однородным вдоль полости), так что $E=E(x,y,t)$. Уравнение гласит

${\frac {\partial E}{\partial {\bar {t}}}}=E_{\text{in}}-E-i\theta E+i|E|^{2}E+i\nabla _{\perp }^{2}E$ ( 1 )

$\nabla _{\perp }^{2}E={\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {y}}^{2}}}$

где ${\bar {t}}$ и ${\bar {x}}$, ${\bar {y}}$ являются нормализованными временными и пространственными переменными, т.е. ${\bar {t}}=\kappa t$, ${\bar {x}}=x/\ell _{d}$, ${\bar {y}}=y/\ell _{d}$, с $\kappa$ скорость распада полости или ширина линии полости, $\ell _{d}$ дифракционная длина в резонаторе. $\theta =(\omega _{c}-\omega _{0})/\kappa$ – параметр расстройки резонатора, при этом $\omega _{c}$ частота резонатора, ближайшая к $\omega _{0}$. В правой части уравнения ( 1 ) $E_{\text{in}}$ – нормированная амплитуда входного поля, инжектируемого в резонатор, второй — член распада, третий — член отстройки, четвёртый — кубический нелинейный член, учитывающий керровскую среду, последний член с поперечным лапласианом $\nabla _{\perp }^{2}$ описывает дифракцию в параксиальном приближении. Предполагаются условия самофокусировки.

Мы называем уравнение ( 1 ) поперечным LLE. Несколько лет спустя, появилась формулировка продольного ЖЛЭ, в которой дифракция заменена дисперсией. В этом случае предполагается, что конверт $E$ не зависит от поперечных переменных $x$ и $y$, так что $E=E(z,t)$. Продольный LLE читается

${\frac {\partial E}{\partial {\bar {t}}}}=E_{\text{in}}-E-i\theta E+i|E|^{2}E+i{\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {z}}^{2}}}$ ( 2 )

с ${\bar {z}}=z/a$, где $a$ зависит, в частности, от параметра дисперсии второго порядка. Предполагаются условия аномальной дисперсии. Важным моментом является то, что однажды $E({\bar {z}},{\bar {t}})$ получается решением уравнения ( 2 ), необходимо вернуться к исходным переменным $z,t$ и заменить $z$ к $z-{\tilde {c}}t$, так что $z$-зависимое стационарное решение (стационарная модель) становится движущейся моделью (со скоростью ${\tilde {c}}$).

С математической точки зрения LLE представляет собой управляемое, демпфированное, расстроенное нелинейное уравнение Шредингера .

Поперечное LLE ( 1 ) находится в 2D с пространственной точки зрения. В волноводной конфигурации $E$ зависит только от одной пространственной переменной, скажем $x$, а поперечный лапласиан заменяется на ${\frac {\partial ^{2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}$ и у одного есть поперечное LLE в 1D. Продольный LLE ( 2 ) эквивалентен поперечному LLE в 1D.

В некоторых работах, посвященных продольному случаю, рассматривают дисперсию за пределами второго порядка, так что в уравнение ( 2 ) входят также члены с производными порядка выше второго по отношению к ${\bar {z}}$.

Равномерные стационарные решения. Связь с оптической бистабильностью . Четырехволновое смешение и формирование паттернов .

Рисунок 3. Стационарная кривая нормированной выходной интенсивности $|E|^{2}$ как функция нормированной входной интенсивности $|E_{\text{in}}|^{2}$ для $\theta =4$. Стационарные состояния на участке с отрицательным наклоном неустойчивы. Стрелки показывают цикл гистерезиса, который охватывается при $|E_{\text{in}}|^{2}$ увеличивается, а затем уменьшается.

Остановимся на случае, когда конверт $E$ является постоянным, т.е. на стационарных решениях, независимых от всех пространственных переменных. Отбрасывая все производные в уравнениях ( 1 ) и ( 2 ) и принимая квадрат модуля , получаем стационарное уравнение

$|E_{\text{in}}|^{2}=|E|^{2}\left\{1+(\theta -|E|^{2})^{2}\right\}$ ( 3 )

Если мы построим стационарную кривую $|E|^{2}$ как функция $|E_{\text{in}}|^{2}$, когда $\theta >{\sqrt {3}}$ получим кривую, как показано на рис.3.

Кривая $S$-образный и существует интервал значений $|E_{\text{in}}|^{2}$ где имеется три стационарных состояния. Однако состояния, лежащие в отрезке с отрицательным наклоном, неустойчивы, так что в интервале сосуществуют два устойчивых стационарных состояния: это явление называется оптической бистабильностью . Если входная интенсивность $|E_{\text{in}}|^{2}$ увеличивается, а затем уменьшается, охватывает цикл гистерезиса.

Если говорить о модах пустой полости, то в случае однородных стационарных решений, описываемых уравнением ( 3 ), электрическое поле является одномодовым, что соответствует моде частоты $\omega _{c}$ квазирезонансный с входной частотой $\omega _{0}$.

В поперечной конфигурации уравнения ( 1 ) в случае этих стационарных решений E соответствует одномодовой плоской волне $e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}$ с $k_{x}=k_{y}=0$, где $k_{x}$ и $k_{y}$ являются поперечными компонентами волнового вектора, точно так же, как и входное поле $E_{\text{in}}$.

Кубическая керровская нелинейность уравнений ( 1 ) и ( 2 ) приводит к четырехволновому смешению (ЧВС), которое может генерировать другие моды, так что огибающая $E$ отображает пространственную картину: в поперечной плоскости в случае уравнения ( 1 ), вдоль полости в случае уравнения ( 2 ).

Поперечные структуры и солитоны резонаторов

В поперечном случае уравнения ( 1 ) картина возникает в результате взаимодействия ЧВВ и дифракции. ЧВВ может вызывать, например, процессы, в которых пары фотонов с $k_{x}=k_{y}=0$ поглощаются и одновременно система испускает пары фотонов с $k_{x}={\bar {k}}_{x}$, $k_{y}=0$ и $k_{x}=-{\bar {k}}_{x}$, $k_{y}=0$ таким образом, что полная энергия фотонов и их полный импульс сохраняются (рис.4).

Рисунок 4. Процесс четырехволнового смешивания, в котором два фотона с $k_{x}=k_{y}=0$ поглощаются, и два фотона с $k_{x}={\bar {k}}_{x},k_{y}=0$ и $k_{x}=-{\bar {k}}_{x},k_{y}=0$ излучаются. $k_{x}$, $k_{y}$ и $k_{z}$ являются компонентами волновых векторов.

Фактически в игру вступают дальнейшие процессы FWM, так что $E(x,y)$ предполагает конфигурацию шестиугольного узора (см. рис.5).

Рисунок 5. Типичная конфигурация узора, возникающая в поперечных плоскостях на выходе, представляет собой шестиугольный узор.

Паттерн отображает упорядоченный массив пиков интенсивности. Можно генерировать также изолированные пики интенсивности, которые называются солитонами полости (см. рис. 6). Поскольку солитоны резонатора можно «записывать» и «стирать» один за другим в поперечной плоскости, как на школьной доске, они представляют большой интерес для приложений в оптической обработке информации и телекоммуникациях.

Рис. 6. Типичный солитон резонатора Керра в поперечной плоскости с ярким пиком на темном фоне с дифракционными кольцами.

Продольные структуры и солитоны резонаторов

В продольном случае уравнения ( 2 ) закономерности возникают в результате взаимодействия между FWM и дисперсией. ЧВВ может вызывать, например, процессы, в которых пары фотонов продольной моды квазирезонансны с $\omega _{0}$ поглощаются и одновременно система излучает пары фотонов, соответствующие модам резонатора, симметрично соседним с квазирезонансной модой, так что полная энергия фотонов, а также полный продольный импульс фотонов сохраняются.

Рисунок 7. Пример продольного рисунка, который движется вдоль резонатора со скоростью света в среде и вызывает на выходе периодическую последовательность импульсов.

На рис. 7 показан пример генерируемых узоров, перемещающихся вдоль полости и из полости. Как и в поперечном случае, в продольной конфигурации могут генерироваться одиночные или множественные солитоны полости Керра; На рис. 8 показан случай солитона с одним резонатором, который циркулирует в резонаторе и создает на выходе последовательность узких импульсов. Такие солитоны впервые наблюдались в резонаторе волокна.

Рис. 8. Продольные солитоны полости Керра.

Важно отметить, что неустойчивость, которая порождает продольные структуры и солитоны полости в LLE, является частным случаем многомодовой неустойчивости оптической бистабильности, предсказанной Бонифачо и Луджиато в работе и впервые наблюдался экспериментально в.

Гребни частоты Керра микрорезонатора и солитоны резонатора

Гребенки оптических частот представляют собой эквидистантный набор лазерных частот, которые можно использовать для подсчета световых циклов. Эта техника, предложенная Теодором Хеншем. и Джон Холл Использование лазеров с синхронизацией мод привело к множеству применений. Работа продемонстрировали реализацию широкополосных гребенок оптических частот, использующих моды шепчущей галереи, активируемые полем непрерывного лазера, инжектируемым в высокодобротный микрорезонатор, заполненный средой Керра, что приводит к возникновению ЧВВ. С тех пор гребенки частот Керра (KFC), полоса пропускания которых может превышать октаву с частотой повторения от микроволновых до ТГц частот, были созданы в самых разных микрорезонаторах; обзоры на эту тему см., например Они предлагают значительный потенциал для миниатюризации и фотонной интеграции в масштабе чипа, а также для снижения энергопотребления. Сегодня генерация KFC является зрелой областью, и эта технология применяется в нескольких областях, включая когерентные телекоммуникации, спектроскопию, атомные часы, а также лазерную локацию и калибровку астрофизических спектрометров.

Ключевым импульсом к этим разработкам стала реализация солитонов полости Керра в микрорезонаторах. открытие возможности использования солитонов полости Керра в фотонных интегральных микрорезонаторах.

Продольный LLE ( 2 ) дает пространственно-временную картину рассматриваемых явлений, но со спектральной точки зрения его решения соответствуют KFC. Связь темы оптического KFC и LLE теоретически разработана в. Эти авторы показали, что LLE (или обобщения, включающие дисперсионные члены более высокого порядка) является моделью, которая описывает генерацию KFC и способна предсказывать их свойства при изменении параметров системы. Спонтанное формирование пространственных структур и солитонов, движущихся по резонатору, описываемому LLE, является пространственно-временным эквивалентом частотных гребенок и определяет их особенности. Довольно идеализированные условия, предполагаемые при формулировке LLE, особенно условие высокой добротности, были прекрасно материализованы впечатляющим технологическим прогрессом, который произошел за это время в области фотоники и привел, в частности, к открытию КФК.

Уравнение Сучкова-Летохова

Усреднение по продольной координате $z$ результаты в «среднем поле» Уравнение СЛЭ , в котором продольная производная отсутствует:

${\frac {\;\omega _{0}\ }{k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial E}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2k_{0}}}\ i\ \nabla _{\perp }^{2}E={\frac {1}{\varepsilon _{0}k_{0}c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {P} ^{\text{NL}}~$.

Строгая процедура продемонстрировал, что этот предшественник LLE применим для моделирования нестационарной эволюции структуры поперечных мод в Дисковом лазере (1966). В условиях стационарной керровской нелинейности SLE сводится к LLE .

Квантовые аспекты

Два фотона, которые, как показано на рис. 4, испускаются в симметрично наклоненных направлениях в процессе ЧВВ, находятся в состоянии квантовой запутанности : они точно коррелированы, например, по энергии и импульсу. Этот факт является фундаментальным для квантовых аспектов оптических структур. Например, разница между интенсивностями двух симметричных лучей сжимается, т.е. демонстрирует флуктуации ниже уровня дробового шума; продольный аналог этого явления экспериментально наблюдался в KFC. В свою очередь, такие квантовые аспекты являются базовыми для области квантовой визуализации .

Обзор статей

Отзывы на тему LLE см. также.

См. также

• Четырехволновое смешивание
• Частотная гребенка
• Частотная гребенка Керра
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Оптическая бистабильность
• Формирование узора
• Дисковый лазер