Дебаевская оболочка

Дебаевская оболочка (также электростатическая оболочка ) представляет собой слой в плазме , который имеет большую плотность положительных ионов и, следовательно, общий избыточный положительный заряд, который уравновешивает противоположный отрицательный заряд на поверхности материала, с которым он находится в контакте. Толщина такого слоя составляет несколько дебаевских длин , величина которых зависит от различных характеристик плазмы (например, температуры, плотности и т. д.).

Дебаевский слой возникает в плазме потому, что электроны обычно имеют температуру на порядок или большую, чем ионы, и значительно легче. Следовательно, они быстрее ионов как минимум в раз. ${\sqrt {m_{\mathrm {i} }/m_{\mathrm {e} }}}$. Таким образом, на границе раздела с поверхностью материала электроны вылетают из плазмы, заряжая поверхность отрицательно по отношению к объемной плазме. Из-за дебаевского экранирования масштаб переходной области будет равен длине Дебая. $\lambda _{\mathrm {D} }$. По мере увеличения потенциала все больше и больше электронов отражаются от потенциала оболочки. Равновесие наконец достигается, когда разность потенциалов в несколько раз превышает температуру электронов.

Дебаевский слой – это переход от плазмы к твердой поверхности. Аналогичная физика применяется между двумя областями плазмы, имеющими разные характеристики; переход между этими областями известен как двойной слой и состоит из одного положительного и одного отрицательного слоев.

Описание

положительных ионов Оболочки вокруг проволок сетки в термоэлектронной газовой трубке, где ⊕ представляет собой положительный заряд (не в масштабе) (По Ленгмюру, 1929 г.)

Оболочки впервые описал американский физик Ирвинг Ленгмюр . В 1923 году он писал:

«Электроны отталкиваются от отрицательного электрода, в то время как положительные ионы притягиваются к нему. Таким образом, вокруг каждого отрицательного электрода существует оболочка определенной толщины, содержащая только положительные ионы и нейтральные атомы. [..] Электроны отражаются от внешней поверхности оболочки. хотя все положительные ионы, достигающие оболочки, притягиваются к электроду [..], из этого непосредственно следует, что ток положительных ионов, достигающий электрода, не изменяется. Электрод фактически полностью экранируется от разряда оболочкой положительных ионов. и его потенциал не может влиять ни на явления, происходящие в дуге, ни на ток, текущий к электроду».

Ленгмюр и соавтор Альберт В. Халл далее описали оболочку, сформированную в термоэмиссионном клапане :

«На рисунке 1 графически показано состояние, которое существует в такой трубке, содержащей пары ртути. Пространство между нитью накаливания и пластиной заполнено смесью электронов и положительных ионов в почти равных количествах, чему было дано название «плазма». Проволока, погруженная в плазму при нулевом потенциале по отношению к ней, поглотит каждый ион и электрон, попавший в нее. Поскольку электроны движутся примерно в 600 раз быстрее, чем ионы, в проволоку попадет в 600 раз больше электронов, чем ионов. Если провод изолирован, он должен иметь такой отрицательный потенциал, чтобы принимать равное количество электронов и ионов, то есть такой потенциал, чтобы он отталкивал все направляющиеся к нему электроны, кроме 1 из 600».

«Предположим, что этот провод, который мы можем принять за часть сетки, сделать еще более отрицательным, чтобы контролировать ток через трубку. Теперь он будет отталкивать все направляющиеся к нему электроны, но будет получать все положительные Таким образом, вокруг провода появится область, содержащая положительные ионы и не содержащая электронов, как схематически показано на рис. 1. Ионы ускоряются по мере приближения к отрицательному проводу, и в нем будет существовать градиент потенциала. эта оболочка, как мы можем ее назвать, состоит из положительных ионов, так что потенциал становится все менее и менее отрицательным по мере удаления от провода и на определенном расстоянии равен потенциалу плазмы. Это расстояние мы определяем как границу. За пределами этого расстояния нет никакого эффекта, обусловленного потенциалом провода».

Математическая обработка

Уравнение плоской оболочки

Количественная физика дебаевского слоя определяется четырьмя явлениями:

Сохранение энергии ионов: если для простоты предположить, что холодные ионы с массой $m_{\mathrm {i} }$ входя в оболочку со скоростью $u_{0}$, имея заряд, противоположный электрону, сохранение энергии в потенциале оболочки требует

${\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u(x)^{2}={\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u_{0}^{2}-e\,\varphi (x)$,

где $e$ – заряд электрона, взятый положительно, т.е. $e=1.602$ х $10^{-19}$ $\mathrm {C}$.

Непрерывность ионов: в устойчивом состоянии ионы нигде не накапливаются, поэтому поток везде одинаков:

$n_{0}\,u_{0}=n_{\mathrm {i} }(x)\,u(x)$.

Соотношение Больцмана для электронов: поскольку большая часть электронов отражается, их плотность определяется выражением

$n_{\mathrm {e} }(x)=n_{0}\exp {\Big (}{\frac {e\,\varphi (x)}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}}{\Big )}$.

Уравнение Пуассона : Кривизна электростатического потенциала связана с чистой плотностью заряда следующим образом:

${\frac {d^{2}\varphi (x)}{dx^{2}}}={\frac {e(n_{\mathrm {e} }(x)-n_{\mathrm {i} }(x))}{\epsilon _{0}}}$.

Объединив эти уравнения и записав их в терминах безразмерного потенциала, положения и скорости иона,

$\chi (\xi )=-{\frac {e\varphi (\xi )}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}}$

$\xi ={\frac {x}{\lambda _{\mathrm {D} }}}$

${\mathfrak {M}}={\frac {u_{\mathrm {o} }}{(k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}}}$

мы приходим к уравнению оболочки:

$\chi ''=\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}-e^{-\chi }$.

Критерий оболочки Бома

Уравнение оболочки можно проинтегрировать один раз, умножив на $\chi '$:

$\int _{0}^{\xi }\chi '\chi ''\,d\xi _{1}=\int _{0}^{\xi }\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}\chi '\,d\xi _{1}-\int _{0}^{\xi }e^{-\chi }\chi '\,d\xi _{1}$

По краю оболочки ( $\xi =0$), мы можем определить потенциал равным нулю ( $\chi =0$) и предположим, что электрическое поле также равно нулю ( $\chi '=0$). С этими граничными условиями интегрирование дает

${\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}^{2}\left[\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{1/2}-1\right]+e^{-\chi }-1$

Это легко переписать в виде интеграла в замкнутой форме, хотя его можно решить только численно. Тем не менее важную информацию можно получить аналитически. Поскольку левая часть представляет собой квадрат, правая часть также должна быть неотрицательной для любого значения $\chi$, особенно для малых значений. Глядя на расширение Тейлора вокруг $\chi =0$, мы видим, что первый член, который не обращается в нуль, является квадратичным, так что мы можем потребовать

${\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(-{\frac {1}{{\mathfrak {M}}^{2}}}+1\right)\geq 0$,

или

${\mathfrak {M}}^{2}\geq 1$,

или

$u_{0}\geq (k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}$.

Это неравенство известно как критерий оболочки Бома в честь его первооткрывателя Дэвида Бома . Если ионы входят в оболочку слишком медленно, потенциал оболочки «проедает» себе путь в плазму, ускоряя их. В конечном итоге образуется так называемая предоболочка с потенциальным падением порядка $(k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/2e)$ и масштаб, определяемый физикой источника ионов (часто такой же, как размеры плазмы). Обычно критерий Бома выполняется с равенством, но в некоторых ситуациях ионы входят в оболочку со сверхзвуковой скоростью.

Закон Чайлда-Лэнгмюра.

Хотя уравнение оболочки обычно необходимо интегрировать численно, мы можем найти приближенное решение аналитически, пренебрегая $e^{-\chi }$ срок. Это равнозначно пренебрежению плотностью электронов в слое или анализу только той части слоя, где электронов нет. Для «плавающей» поверхности, то есть такой, которая не потребляет ток из плазмы, это полезное, хотя и грубое приближение. Для поверхности, смещенной сильно отрицательно, так что она поглощает ток насыщения ионов , приближение очень хорошее. Обычно, хотя это и не является строго необходимым, уравнение еще больше упрощают, предполагая, что $2\chi /{\mathfrak {M}}^{2}$ намного больше единицы. Тогда уравнение оболочки примет простой вид

$\chi ''={\frac {\mathfrak {M}}{(2\chi )^{1/2}}}$.

Как и прежде, умножаем на $\chi '$ и интегрируем, чтобы получить

${\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}(2\chi )^{1/2}$,

или

$\chi ^{-1/4}\chi '=2^{3/4}{\mathfrak {M}}^{1/2}$.

Это легко интегрируется по ξ и дает

${\frac {4}{3}}\chi _{\mathrm {w} }^{3/4}=2^{3/4}{\mathfrak {M}}^{1/2}d$,

где $\chi _{\mathrm {w} }$ – (нормированный) потенциал на стенке (относительно края оболочки), d – толщина оболочки. Возвращаемся к переменным $u_{0}$ и $\varphi$ и учитывая, что ионный ток в стенку равен $J=e\,n_{0}\,u_{0}$, у нас есть

$J={\frac {4}{9}}\left({\frac {2e}{m_{i}}}\right)^{1/2}{\frac {|\varphi _{w}|^{3/2}}{4\pi d^{2}}}$.

Это уравнение известно как закон Чайлда в честь Клемента Д. Чайлда (1868–1933), который впервые опубликовал его в 1911 году, или как закон Чайлда-Лэнгмюра , также в честь Ирвинга Ленгмюра , который открыл его независимо и опубликовал в 1913 году. был впервые использован для получения тока, ограниченного объемным зарядом, в вакуумном диоде с расстоянием между электродами d . Его также можно инвертировать, чтобы получить толщину дебаевской оболочки в зависимости от падения напряжения, установив $J=j_{\mathrm {ion} }^{\mathrm {sat} }$:

$d={\frac {2}{3}}\left({\frac {2e}{m_{\mathrm {i} }}}\right)^{1/4}{\frac {|\varphi _{\mathrm {w} }|^{3/4}}{2{\sqrt {\pi j_{\mathrm {ion} }^{\mathrm {sat} }}}}}$.

В последние годы закон Чайлда-Лэнгмюра (CL) был пересмотрен, как сообщается в двух обзорных статьях.

См. также

• Амбиполярная диффузия
• Двойной слой (плазма) , особенно участок. Двойные токопроводящие слои, образованные одиночными лучами с нулевой температурой.