Jump to content

Пустой домен

В современной логике применимы только противоречия в квадрате оппозиции , поскольку области могут быть пустыми.

(Черные области пусты,
красные области непусты.)

В логике первого порядка домен пустой это пустое множество, не имеющее членов. В традиционной и классической логике области ограниченно непусты, чтобы некоторые теоремы были действительными. Интерпретации с пустой областью показаны как тривиальный случай в соответствии с соглашением, возникшим по крайней мере в 1927 году Бернейсом и Шенфинкелем (хотя, возможно, раньше), но часто приписываемым Куайна 1951 года «Математической логике» . [1] Соглашение состоит в том, чтобы присвоить любой формуле, начинающейся с квантора универсальности, значение истины, в то время как любой формуле, начинающейся с квантора существования, присваивается значение ложности . Это следует из идеи, что экзистенциально квантифицированные утверждения имеют экзистенциальное значение (т.е. они предполагают существование чего-то), в то время как универсально квантифицированные утверждения - нет. Сообщается, что эта интерпретация исходит от Джорджа Буля конца 19 века, но это спорно. В современной теории моделей из условий истинности для количественных предложений следует следующее:

Другими словами, экзистенциальная квантификация открытой формулы φ верна в модели тогда и только тогда, когда в области области (модели) есть некоторый элемент, который удовлетворяет этой формуле; т.е. тогда и только тогда, когда этот элемент имеет свойство, обозначенное открытой формулой. Универсальная квантификация открытой формулы φ верна в модели тогда и только тогда, когда каждый элемент в области удовлетворяет этой формуле. (Обратите внимание, что в метаязыке «все, что таково, что X таково, что Y» интерпретируется как универсальное обобщение материального условного «если что-либо таково, что X, то оно таково, что Y». Также даны кванторы их обычные объектные прочтения, так что позитивное экзистенциальное утверждение имеет экзистенциальное значение, а универсальное — нет.) Аналогичный случай касается пустой конъюнкции и пустой дизъюнкции. Семантические предложения для союзов и дизъюнкций соответственно задаются формулой

  • .

Легко видеть, что пустая конъюнкция тривиально истинна, а пустая дизъюнкция тривиально ложна.

Логики, теоремы которых справедливы во всех областях, включая пустую, были впервые рассмотрены Ясковским 1934, Мостовским 1951, Хайльперином 1953, Куайном 1954, Леонардом 1956 и Хинтиккой 1959. Хотя Куайн называл такие логики «инклюзивной» логикой, теперь их называют «инклюзивной» логикой. как свободная логика .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Куайн, Западная Вирджиния (1951). Математическая логика . Издательство Гарвардского университета. дои : 10.4159/9780674042469 . ISBN  978-0-674-04246-9 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a96dacf6db98383d7e893d9746d200a1__1714919220
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a9/a1/a96dacf6db98383d7e893d9746d200a1.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Empty domain - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)