Пустой домен
В логике первого порядка домен пустой — это пустое множество, не имеющее членов. В традиционной и классической логике области ограниченно непусты, чтобы некоторые теоремы были действительными. Интерпретации с пустой областью показаны как тривиальный случай в соответствии с соглашением, возникшим по крайней мере в 1927 году Бернейсом и Шенфинкелем (хотя, возможно, раньше), но часто приписываемым Куайна 1951 года «Математической логике» . [1] Соглашение состоит в том, чтобы присвоить любой формуле, начинающейся с квантора универсальности, значение истины, в то время как любой формуле, начинающейся с квантора существования, присваивается значение ложности . Это следует из идеи, что экзистенциально квантифицированные утверждения имеют экзистенциальное значение (т.е. они предполагают существование чего-то), в то время как универсально квантифицированные утверждения - нет. Сообщается, что эта интерпретация исходит от Джорджа Буля конца 19 века, но это спорно. В современной теории моделей из условий истинности для количественных предложений следует следующее:
Другими словами, экзистенциальная квантификация открытой формулы φ верна в модели тогда и только тогда, когда в области области (модели) есть некоторый элемент, который удовлетворяет этой формуле; т.е. тогда и только тогда, когда этот элемент имеет свойство, обозначенное открытой формулой. Универсальная квантификация открытой формулы φ верна в модели тогда и только тогда, когда каждый элемент в области удовлетворяет этой формуле. (Обратите внимание, что в метаязыке «все, что таково, что X таково, что Y» интерпретируется как универсальное обобщение материального условного «если что-либо таково, что X, то оно таково, что Y». Также даны кванторы их обычные объектные прочтения, так что позитивное экзистенциальное утверждение имеет экзистенциальное значение, а универсальное — нет.) Аналогичный случай касается пустой конъюнкции и пустой дизъюнкции. Семантические предложения для союзов и дизъюнкций соответственно задаются формулой
- .
Легко видеть, что пустая конъюнкция тривиально истинна, а пустая дизъюнкция тривиально ложна.
Логики, теоремы которых справедливы во всех областях, включая пустую, были впервые рассмотрены Ясковским 1934, Мостовским 1951, Хайльперином 1953, Куайном 1954, Леонардом 1956 и Хинтиккой 1959. Хотя Куайн называл такие логики «инклюзивной» логикой, теперь их называют «инклюзивной» логикой. как свободная логика .
См. также
[ редактировать ]- Логический куб
- Логический шестиугольник
- Площадь оппозиции
- Треугольник оппозиции
- Таблица логических символов
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Куайн, Западная Вирджиния (1951). Математическая логика . Издательство Гарвардского университета. дои : 10.4159/9780674042469 . ISBN 978-0-674-04246-9 .