График полосы пропускания

В теории графика задача полосы пропускания графика в том, чтобы пометить $N$ вершины $V I$ графика состоит $G$ с различными целыми числами ⁠ $f(v_{i})$ ⁠ так, чтобы количество $\max\{\,|f(v_{i})-f(v_{j})|:v_{i}v_{j}\in E\,\}$ сведен к минимуму ( $e$ - набор краев $g$ ). ^{[ 1 ]} Проблема может быть визуализирована как размещение вершин графика в различных целочисленных точках вдоль оси x , так что длина самого длинного края сводилась к минимуму. Такое размещение называется линейным графическим расположением , линейным макетом графа или размещением линейного графа . ^{[ 2 ]}

Проблема взвешенной полосы пропускания графика - это обобщение , в котором ребра назначаются весами $с IJ$ , а функция стоимости , которая должна быть сведена к минимуму $\max\{\,w_{ij}|f(v_{i})-f(v_{j})|:v_{i}v_{j}\in E\,\}$ .

С точки зрения матриц, (невзвешенная) полоса пропускания графика является минимальной полосой пропускной способности , симметричной матрицы которая представляет собой матрицу смежности графика. Пропускная способность также может быть определена как один меньший, чем максимальный размер клики в надлежащем интервальном суперграфе данного графика, выбранного для минимизации размера его клики ( Kaplan & Shamir 1996 ).

Циклически интервальные графики

Для фиксированного $k$ определить для каждого $i$ набор $I_{k}(i):=[i,i+k+1)$ . $G_{k}(n)$ соответствующий интервал -график, образованный из интервалы $I_{k}(1),I_{k}(2),...I_{k}(n)$ Полем Это точно правильный интервал Графики графиков с полосой пропускной способности $k$ Полем Эти графики называются Be циклически интервальные графики , потому что интервалы могут быть назначены слоям $L_{1},L_{2},...L_{k+1}$ в циклическом порядке, где не проводятся интервалы слоя пересечь.

Следовательно, можно увидеть отношение к протекации пути . Графики с ограниченным путем ограничены, но это закрыто, но Набор подграфов циклических интервальных графиков не является. Это следует из факта, что Thringing Степень 2 вершины могут увеличить пропускную способность.

Альтернативное добавление вершин по краям может уменьшить пропускную способность. Подсказка: последняя проблема известна как топологическая полоса пропускания . Другой показатель графика, связанный с помощью полосы пропускания, - это полоса пропускания пополам .

Формулы полосы пропускания для некоторых графиков

Для нескольких семей с графиками пропускная способность $\varphi (G)$ дается явной формулой.

Пропускная способность графика пути P _N на N вершинах составляет 1, и для полного графика K _M у нас есть $\varphi (K_{n})=n-1$ Полем Для полного двухпартийного графика K _{M , N} ,

\varphi (K_{m,n})=\lfloor (m-1)/2\rfloor +n

, предполагая

m\geq n\geq 1,

который был доказан Чваталом. ^{[ 3 ]} В качестве особого случая этой формулы, Star Graph $S_{k}=K_{k,1}$ на вершине K + 1 имеет полосу пропускания $\varphi (S_{k})=\lfloor (k-1)/2\rfloor +1$ .

Для графика гиперкуба $Q_{n}$ на $2^{n}$ Вершины. Пропускная способность была определена Харпером (1966) как

\varphi (Q_{n})=\sum _{m=0}^{n-1}{\binom {m}{\lfloor m/2\rfloor }}.

Chvatálová показал ^{[ 4 ]} что полоса пропускания графика M × N Square Grid $P_{m}\times P_{n}$ , то есть картезианский продукт двух графиков пути на $m$ и $n$ Вершины равны мин { m , n }.

Границы

Пропускная способность графика может быть ограничена в терминах различных других параметров графика. Например, разрешение χ ( ) обозначает хроматическое число G g ,

\varphi (G)\geq \chi (G)-1;

диам ( g ) обозначает диаметр G Пусть , следующее неравенство удерживается: ^{[ 5 ]}

\lceil (n-1)/\operatorname {diam} (G)\rceil \leq \varphi (G)\leq n-\operatorname {diam} (G),

где $n$ количество вершин в $G$ .

Если график G имеет полосу пропускания k , то его проходная пропускная способность имеет максимум K ( Kaplan & Shamir 1996 ), и его глубинка дерева имеет максимум K log ( N / k ) ( Gruber 2012 ). Напротив, как отмечено в предыдущем разделе, Star Graph S _K , структурно очень простой пример дерева , имеет сравнительно большую полосу пропускания. Обратите внимание, что пропускная способность проходная S _K равно 1, а его глубинка-2.

Некоторые семейства графиков ограниченной степени имеют сублинейную полосу пропускания: Chung (1988) доказал, что если t является деревом максимальной степени не более максимум ∆, то тогда

\varphi (T)\leq {\frac {5n}{\log _{\Delta }n}}.

В целом, для плоских графиков ограниченной максимальной степени максимально ∆ , аналогичная граница содержится (см. Böttcher et al. 2010 ):

\varphi (G)\leq {\frac {20n}{\log _{\Delta }n}}.

Вычисление полосы пропускания

Как невзвешенные, так и взвешенные версии являются особыми случаями задачи задания квадратичного узкого места . Проблема полосы пропускания- NP-Hard , даже для некоторых особых случаев. ^{[ 6 ]} Что касается существования эффективного Алгоритмы аппроксимации , известно, что полоса пропускания- NP-Hard, чтобы приблизиться к любой константе, и это даже удерживается, когда входные графики ограничены деревьями гусениц с максимальной длиной волос 2 ( Dubey, Feige & Unger 2010 ). Для случая плотных графиков, Algorithm 3-Approximation был разработан Karpinski, Wirtgen & Zelikovsky (1997) . С другой стороны, известен ряд полиномиально-разрешенных особых случаев. ^{[ 2 ]} Эвристический алгоритм алгоритм получения линейных графических макетов с низкой пропускной способностью - Cuthill -McKee . Быстрый многоуровневый алгоритм для вычисления полосы пропускания графика был предложен. ^{[ 7 ]}

Приложения

Интерес к этой проблеме исходит из некоторых областей применения.

Одной из областей является редкая матричная обработка матрицы / матрицы полосы , и общие алгоритмы из этой области, такие как алгоритм Cuthill -McKee , могут быть применены, чтобы найти приблизительные решения для задачи полосы пропускания графика.

Другой домен приложения - автоматизация электронного дизайна . В стандартной методологии конструкции ячеек обычно стандартные ячейки имеют одинаковую высоту, и их размещение расположено в ряде строк. В этом контексте задача полосы пропускания графика моделирует проблему размещения набора стандартных ячеек в одном ряду с целью минимизации максимальной задержки распространения (которая, как предполагается, пропорциональна длине провода).

Смотрите также

Cutweadth и Pathwidth , различные проблемы оптимизации NP, включающие линейные макеты графиков.

Ссылки

^ ( Ent al. 1982 )
^ Jump up to: ^а ^{беременный} «Снижение с NP-жесткостью проблемы с полосой пропускания графа», Уриэль Фейдж, лекционные заметки в области компьютерных наук , том 1851, 2000, с. 129-145, Два : 10.1007/3-540-44985-X_2
^ A remark on a problem of Harary. V. Chvátal, Czechoslovak Mathematical Journal 20(1):109–111, 1970. http://dml.cz/dmlcz/100949
^ Optimal Labelling of a product of two paths. J. Chvatálová, Discrete Mathematics 11, 249–253, 1975.
^ Head et al. 1982
^ Garayon: GT40
^ Илья Сафро и Дорит Рон и Ачи Брандт (2008). «Многоуровневые алгоритмы для линейных задач упорядочения». ACM Journal of Experimental Algorithmics . 13 : 1,4–1,20. doi : 10.1145/1412228.1412232 .

Böttcher, J.; Pruessmann, KP; Тараз, А.; Würfl, A. (2010). «Пропускная способность, расширение, ширина дерева, разделители и универсальность для графиков ограниченной степени». Европейский журнал комбинаторики . 31 (5): 1217–1227. Arxiv : 0910.3014 . doi : 10.1016/j.ejc.2009.10.010 .
Чинн, Pz ; Chvátalová, J.; Dewdney, AK ; Гиббс, Н.Е. (1982). «Проблема полосы пропускания для графиков и матриц - опрос». Журнал теории графика . 6 (3): 223–254. doi : 10.1002/jgt.3190060302 .
Chung, Fan Rk (1988), «Маркировки графиков», в Beineke, Lowell W.; Wilson, Robin J. (Eds.), Выбранные темы в теории графика (PDF) , Academic Press, стр. 151–168, ISBN 978-0-12-086203-0
Dubey, C.; Feige, U.; Unger, W. (2010). «Твердость результатов для аппроксимации пропускной способности» . Журнал компьютерных и системных наук . 77 : 62–90. doi : 10.1016/j.jcss.2010.06.006 .
Гари, мистер ; Джонсон, Д.С. (1979). Компьютеры и неразрешимость: руководство по теории NP-законности . Нью -Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1045-5 .
Gruber, Hermann (2012), «О сбалансированных сепараторах, ширине деревьев и цикле», Journal of Combinatorics , 3 (4): 669–682, arxiv : 1012.1344 , doi : 10.4310/joc.2012.v3.n4.a5
Харпер Л. (1966). «Оптимальные цифры и изопетиметрические проблемы на графиках» . Журнал комбинаторной теории . 1 (3): 385–393. doi : 10.1016/s0021-9800 (66) 80059-5 .
Каплан, Хаим; Шамир, Рон (1996), «Проблемы пути, пропускная способность и проблемы завершения для правильных интервальных графиков с небольшими кликами», Siam Journal по вычислениям , 25 (3): 540–561, doi : 10.1137/s0097539793258143
Карпински, Марек; Виртген, Юрген; Zelikovsky, Aleksandr (1997). «Алгоритм аппроксимации для проблемы полосы пропускания на плотных графиках» . Электронный коллоквиум по вычислительной сложности . 4 (17).

Внешние ссылки

Проблема минимальной полосы пропускания , в: Пьерлуиджи Крессензи и Вигго Канн (ред.), Сборник задач оптимизации NP. Доступ 26 мая 2010 года.

[1] ( Ent al. 1982 )

[feige-2] Jump up to: ^а ^{беременный} «Снижение с NP-жесткостью проблемы с полосой пропускания графа», Уриэль Фейдж, лекционные заметки в области компьютерных наук , том 1851, 2000, с. 129-145, Два : 10.1007/3-540-44985-X_2

[3] A remark on a problem of Harary. V. Chvátal, Czechoslovak Mathematical Journal 20(1):109–111, 1970. http://dml.cz/dmlcz/100949

[4] Optimal Labelling of a product of two paths. J. Chvatálová, Discrete Mathematics 11, 249–253, 1975.

[5] Head et al. 1982

[6] Garayon: GT40

[multilevellinord-7] Илья Сафро и Дорит Рон и Ачи Брандт (2008). «Многоуровневые алгоритмы для линейных задач упорядочения». ACM Journal of Experimental Algorithmics . 13 : 1,4–1,20. doi : 10.1145/1412228.1412232 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]