Адаптивное уточнение сетки
В численном анализе адаптивное уточнение сетки ( AMR ) — это метод адаптации точности решения в определенных чувствительных или турбулентных областях моделирования динамически и во время расчета решения. Когда решения рассчитываются численно, они часто ограничиваются заранее определенными количественными сетками, как в декартовой плоскости, которые составляют расчетную сетку или «сетку». Однако многие задачи численного анализа не требуют одинаковой точности числовых сеток, используемых для построения графиков или компьютерного моделирования, и было бы лучше подходить, если бы определенные области графиков, требующие точности, могли быть уточнены при количественном определении только в тех областях, где требуется дополнительная точность. Адаптивное уточнение сетки обеспечивает такую динамическую среду программирования для адаптации точности численных вычислений на основе требований вычислительной задачи в определенных областях многомерных графиков, которые требуют точности, оставляя при этом другие области многомерных графиков на более низких уровнях. точности и разрешения.
Этот динамический метод адаптации точности вычислений к конкретным требованиям был одобрен Маршей Бергер , Джозефом Олигером и Филлипом Колеллой , которые разработали алгоритм динамического построения сетки, называемый локальным адаптивным уточнением сетки . С тех пор использование AMR получило широкое применение и использовалось при изучении проблем турбулентности в гидродинамике, а также при изучении крупномасштабных структур в астрофизике, например в Большом космологическом моделировании .
Разработка адаптивного уточнения сетки
[ редактировать ]
В серии статей , Марша Бергер Джозеф Олигер и Филипп Колелла разработали алгоритм динамического построения сетки, называемый локальным адаптивным уточнением сетки . [1] [2] Алгоритм начинается с покрытия всей вычислительной области грубого разрешения базового уровня регулярной декартовой сеткой . По мере выполнения расчета отдельные ячейки сетки помечаются для уточнения с использованием критерия, который может быть либо задан пользователем (например, масса на ячейку остается постоянной, следовательно, области с более высокой плотностью имеют более высокое разрешение), либо основан на экстраполяции Ричардсона .
Затем все помеченные ячейки уточняются, то есть более мелкая сетка накладывается на более грубую. После уточнения отдельные участки сетки на одном фиксированном уровне уточнения передаются интегратору, который продвигает эти ячейки во времени. Наконец, реализуется процедура коррекции для корректировки передачи по границам грубо-мелкой сетки, чтобы гарантировать, что количество любого сохраняющегося количества, покидающего одну ячейку, точно уравновешивает количество, попадающее в граничащую ячейку. Если в какой-то момент уровень детализации ячейки превышает требуемый, сетка высокого разрешения может быть удалена и заменена более грубой сеткой.
Это позволяет пользователю решать задачи, которые совершенно неразрешимы на однородной сетке ; например, астрофизики использовали AMR для моделирования коллапсирующего ядра гигантского молекулярного облака до эффективного разрешения 131 072 ячеек на начальный радиус облака , что соответствует разрешению 10 15 ячейки на равномерной сетке. [3]
Расширенное уточнение сетки было введено через функционалы. [4] Функционалы позволяют создавать сетки и обеспечивать адаптацию сетки. Некоторые расширенные функции включают функции Уинслоу и модифицированные функции Ляо. [5]
Применение адаптивного уточнения сетки
[ редактировать ]При вычислении решения уравнений мелкой воды решение (высота воды) может быть рассчитано только для точек, находящихся через каждые несколько футов друг от друга, и можно предположить, что между этими точками высота меняется плавно. Таким образом, ограничивающим фактором разрешения решения является шаг сетки: не будет никаких особенностей численного решения в масштабах, меньших, чем шаг сетки. Адаптивное уточнение сетки (AMR) изменяет расстояние между точками сетки, чтобы изменить точность знания решения в этой области. В примере с мелководьем сетка обычно может располагаться через каждые несколько футов, но ее можно адаптивно уточнять, чтобы точки сетки располагались через каждые несколько дюймов в местах, где есть большие волны.
Если область, в которой требуется более высокое разрешение, остается локализованной в ходе вычислений, то можно использовать статическое уточнение сетки , при котором сетка в некоторых регионах располагается более мелко, чем в других, но сохраняет свою форму с течением времени.
Преимущества динамической схемы сетки:
- Повышенная экономия вычислительных ресурсов по сравнению со статическим сеточным подходом.
- Повышенная экономия места по сравнению со статической сеткой.
- на основе лагранжа Полный контроль разрешения сетки по сравнению с фиксированным разрешением подхода статической сетки или адаптивностью гидродинамики сглаженных частиц .
- По сравнению с предварительно настроенными статическими сетками, адаптивный подход требует менее подробных априорных знаний об эволюции решения.
- Вычислительные затраты наследуют свойства физической системы. [6]
Кроме того, методы АМР были разработаны и применены к широкому кругу задач механики жидкости, включая двухфазные потоки, [7] взаимодействие жидкости со структурой, [8] и преобразователи волновой энергии. [9]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Бергер, Марша Дж.; Олигер, Джозеф (1984). «Адаптивное уточнение сетки для гиперболических уравнений в частных производных» (PDF) . Журнал вычислительной физики . 53 (3): 484–512. дои : 10.1016/0021-9991(84)90073-1 . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2021 г. Проверено 22 июля 2021 г.
- ^ Бергер, Марша Дж.; Колелла, Филипп (1989). «Локальное адаптивное уточнение сетки для ударной гидродинамики» (PDF) . Журнал вычислительной физики . 82 (1): 64–84. Бибкод : 1989JCoPh..82...64B . дои : 10.1016/0021-9991(89)90035-1 .
- ^ Кляйн, Ричард (1999). «Звездообразование с трехмерным адаптивным уточнением сетки: коллапс и фрагментация молекулярных облаков» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 109 (1–2): 123–152. дои : 10.1016/S0377-0427(99)00156-9 .
- ^ Хуан, Вэйчжан; Рассел, Роберт Д. (2010). Метод адаптивной подвижной сетки . Спрингер. ISBN 978-1-4419-7916-2 .
- ^ Хаттри, Санджай Кумар (2007). «Генерация и адаптация сеток функционалами» . Вычислительная и прикладная математика . 26 (2): 235–249 . Проверено 22 июля 2021 г.
- ^ Попине, Стефан (2015). «Адаптивный многосеточный решатель для уравнений Серра – Грина – Нагди» . Журнал вычислительной физики . 302 : 336–358. Бибкод : 2015JCoPh.302..336P . дои : 10.1016/j.jcp.2015.09.009 . Проверено 22 июля 2021 г.
- ^ Цзэн, Ядун; Сюань, Аньцин; Бляшке, Йоханнес; Шен, Лиан (2022). «Параллельная ячеецентрированная адаптивная структура набора уровней для эффективного моделирования двухфазных потоков с субциклом и без субцикла» . Журнал вычислительной физики . 448 . Elsevier: 110740. Бибкод : 2022JCoPh.44810740Z . дои : 10.1016/j.jcp.2021.110740 . S2CID 244203913 .
- ^ Цзэн, Ядун; Бхала, Амнит; Шен, Лиан (2022). «Среда метода погруженных границ DLM на основе схемы субциклического / не субциклического продвижения по времени для решения задач взаимодействия одно- и многофазной жидкости со структурой на динамически адаптивных сетках» . Компьютеры и жидкости . 238 . Elsevier: 105358. doi : 10.1016/j.compfluid.2022.105358 . S2CID 247369961 .
- ^ Ю, И-Сян; Ли, Йе (2013). «Усредненное по Рейнольдсу моделирование Навье-Стокса характеристик подъема двухчастичной волновой энергетической системы поглотителя с плавающей запятой» . Компьютеры и жидкости . 73 . Эльзевир: 104–114. doi : 10.1016/j.compfluid.2012.10.007 .