Метод аппроксимации перевала

Метод аппроксимации перевала, первоначально предложенный Дэниэлсом ( 1954), является конкретным примером математического метода перевала , применяемого к статистике . Он обеспечивает высокоточную формулу аппроксимации для любой PDF или функции вероятности распределения, основанной на производящей функции момента . Существует также формула для CDF распределения, предложенная Луганнани и Райс (1980).

Определение

Если производящая момент функция распределения записана как $M(t)$ и кумулянтная производящая функция как $K(t)=\log(M(t))$ тогда аппроксимация седловой точки PDF распределения определяется как:

${\hat {f}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi K''({\hat {s}})}}}\exp(K({\hat {s}})-{\hat {s}}x)$

а аппроксимация седловой точки CDF определяется как:

${\hat {F}}(x)={\begin{cases}\Phi ({\hat {w}})+\phi ({\hat {w}})({\frac {1}{\hat {w}}}-{\frac {1}{\hat {u}}})&{\text{for }}x\neq \mu \\{\frac {1}{2}}+{\frac {K'''(0)}{6{\sqrt {2\pi }}K''(0)^{3/2}}}&{\text{for }}x=\mu \end{cases}}$

где ${\hat {s}}$ это решение $K'({\hat {s}})=x$, ${\hat {w}}=\operatorname {sgn} {\hat {s}}{\sqrt {2({\hat {s}}x-K({\hat {s}}))}}$ и ${\hat {u}}={\hat {s}}{\sqrt {K''({\hat {s}})}}$.

Когда распределение соответствует выборочному среднему, разложение седловой точки Луганнани и Райса для кумулятивной функции распределения $F(x)$ можно дифференцировать, чтобы получить разложение Дэниэлса по седловой точке для функции плотности вероятности $f(x)$ (Рутледж и Цао, 1997). Этот результат устанавливает производную усеченного ряда Луганнани и Райса как альтернативное асимптотическое приближение для функции плотности. $f(x)$. В отличие от исходного седлового приближения для $f(x)$, это альтернативное приближение вообще не нуждается в перенормировке.

Ссылки

• Батлер, Рональд В. (2007), Приближения седловой точки с приложениями , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN  9780521872508
• Дэниэлс, HE (1954), «Седловые аппроксимации в статистике», Анналы математической статистики , 25 (4): 631–650, doi : 10.1214/aoms/1177728652
• Дэниелс, HE (1980), «Точные седловые аппроксимации», Biometrika , 67 (1): 59–63, doi : 10.1093/biomet/67.1.59 , JSTOR   2335316
• Луганнани, Р.; Райс, С. (1980), «Приближение седловой точки для распределения суммы независимых случайных величин», « Достижения в области прикладной теории вероятностей» , 12 (2): 475–490, doi : 10.2307/1426607 , JSTOR   1426607 , S2CID   124484743
• Рид, Н. (1988), «Методы перевала и статистический вывод», Statistical Science , 3 (2): 213–227, doi : 10.1214/ss/1177012906
• Рутледж, РД; Цао, М. (1997), «О взаимосвязи между двумя асимптотическими разложениями распределения выборочного среднего и его применениями», Annals ofStatistics , 25 (5): 2200–2209, doi : 10.1214/aos/1069362394