Условие Самуэльсона

Состояние Самуэльсона , предложенное Полом Самуэльсоном , ^{[ 1 ]} В теории общественной экономики это условие оптимального обеспечения общественными благами .

Для экономики с n потребителями условия таковы:

\sum _{i=1}^{n}{\text{MRS}}_{i}={\text{MRT}}

MRS _i — это индивидуальная i предельная норма замещения экономики , а MRT — это предельная норма перехода между общественным благом и произвольно выбранным частным благом. Обратите внимание: хотя предельные нормы замещения индексируются отдельными людьми, предельная норма трансформации — нет; это ставка для всей экономики.

Если частное благо является числовым благом , то условие Самуэльсона можно переписать как:

\sum _{i=1}^{n}{\text{MB}}_{i}={\text{MC}}

где ${\text{MB}}_{i}$ - это предельная выгода для каждого человека от потребления еще одной единицы общественного блага, и ${\text{MC}}$ — это предельные издержки производства этого блага. Другими словами, общественное благо должно предоставляться до тех пор, пока общие выгоды для потребителей от этого блага, по крайней мере, столь же велики, как и затраты на его предоставление ( общественные блага неконкурентны, поэтому ими могут пользоваться многие потребители одновременно).

В таком виде условие Самуэльсона имеет простую графическую интерпретацию. Предельная выгода каждого отдельного потребителя, ${\text{MB}}_{i}$ , представляет его или ее требование общественного блага или готовность платить. Сумма предельных выгод представляет собой совокупную готовность платить или совокупный спрос. Предельные издержки в условиях конкурентного рынка представляют собой предложение общественных благ. Следовательно, условие Самуэльсона можно рассматривать как обобщение концепций спроса и предложения от частных благ к общественным.

Вывод

Позволять ${\textstyle x}$ обозначают частные блага, ${\textstyle y}$ общественное благо, ${\textstyle w}$ совокупное богатство и ${\textstyle z}$ сколько средств выделяется на производство общественных благ (жертвы частного потребления, приносимые ради общественного блага).

Мы максимизируем взвешенное (по ${\textstyle \alpha ^{i}}$ ) функция полезности для каждого потребителя $i$ : $\max _{x^{i},y}\left\{\sum _{i}\alpha ^{i}u^{i}(x^{i},y^{i})\right\}~{\text{subject to:}}$

$g(z)=y~$ (расходы на $y$ );

$w-z\geqslant \sum _{i=1}^{I}x^{i}$ (все ресурсы, предназначенные для частных благ, должны быть больше или равны сумме частных благ для каждого).

Решим методом Лагранжа:

$L=\sum _{i}\alpha ^{i}u^{i}(x^{i},y)+\lambda \left(w-z-\sum _{i=1}^{I}x^{i}\right)+\mu (g(z)-y)$

Условия первого порядка определяются формулой:

$(1)\quad x^{i}:\quad \alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{i}}}=\lambda \ \forall \ i;$

$(2)\quad y:\quad \sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial y}}=\mu ;$

$(3)\quad z:\quad \mu g'=\lambda .$

Из (2) и (3):

$g'\sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial y}}=\lambda =\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{i}}}$

Разделить на $\lambda$ а затем $g'$ :

$\sum {\frac {\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial y}}}{\lambda }}={\frac {1}{g'}}$

Но $\lambda =\alpha ^{i}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{i}}}$ для всех $i$ , так:

$\sum {\frac {\frac {\partial u^{i}}{\partial y}}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{i}}}}={\frac {1}{g'}}$ .

LHS определяется как предельная норма замещения общественного блага частным (для отдельного человека). $i$ ), а RHS определяется как предельная скорость трансформации (для общества в целом). Таким образом, в конечном итоге мы приходим к:

$\sum _{i}MRS^{i}=MRT.$ ^{[ 2 ]}

См. также

Равновесие Линдаля

Ссылки

^ Самуэльсон, Пол А. (1954), Теория государственных расходов, в: Обзор экономики и статистики 36, стр. 386–389.
^ Лаффон, Жан-Жак (1 июля 2008 г.). Основы общественной экономики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 9780262512190 .

Брюммерхофф, Дитер (2001), Financial Science, Мюнхен и др.

Эта экономике статья по незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Самуэльсон, Пол А. (1954), Теория государственных расходов, в: Обзор экономики и статистики 36, стр. 386–389.

[2] Лаффон, Жан-Жак (1 июля 2008 г.). Основы общественной экономики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 9780262512190 .

[ 1 ]

[ 2 ]