Алмазная норма

В квантовой информации норма ромба , также известная как полностью ограниченная норма следа, является нормой в пространстве квантовых операций или, в более общем смысле, на любом линейном отображении, которое действует на комплексные матрицы. Его основное применение — измерение «одноразовой различимости» двух квантовых каналов . Если агенту случайным образом дается один из двух квантовых каналов, разрешается передать одно состояние через неизвестный канал, а затем он измеряет состояние, пытаясь определить, какую операцию ему дали, то его максимальная вероятность успеха определяется алмазной нормой. разницы двух каналов.

Хотя норму алмаза можно эффективно вычислить с помощью полуопределенного программирования , в целом получить аналитические выражения сложно, и они известны только для нескольких частных случаев.

Определение

Норма ромба — это норма следа вывода тривиального расширения линейного отображения, максимизированная по всем возможным входным данным с нормой следа не более одной. Точнее, пусть $\Phi :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{m}(\mathbb {C} )$ — линейное преобразование, где $M_{n}(\mathbb {C} )$ обозначает $n\times n$ комплексные матрицы, пусть $\mathbb {1} _{n}:M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )$ быть картой идентичности на $n\times n$ матрицы и $X\in M_{n^{2}}(\mathbb {C} )$. Тогда алмазная норма $\Phi$ дается

$\|\Phi \|_{\diamond }:=\max _{X;\|X\|_{1}\leq 1}\|(\Phi \otimes \mathbb {1} _{n})X\|_{1},$

где $\|\cdot \|_{1}$ обозначает норму следа.

Норма ромба индуцирует ромбовидное расстояние, которое в частном случае полностью положительного, отслеживает невозрастающие отображения ${\mathcal {E}},{\mathcal {F}}$ дается

$d_{\diamond }({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\|{\mathcal {E}}-{\mathcal {F}}\|_{\diamond }=\max _{\rho }\|({\mathcal {E}}\otimes \mathbb {1} _{n})\rho -({\mathcal {F}}\otimes \mathbb {1} _{n})\rho \|_{1},$

где максимизация производится по всем матрицам плотности $\rho$ размера $n^{2}$.

Дискриминация квантовых каналов

В задаче однократной дискриминации квантовых каналов агенту предоставляется один из каналов ${\mathcal {E}},{\mathcal {F}}$ с вероятностями p и 1-p соответственно и попытками угадать, какой канал они получили, готовя состояние $\rho$, пропуская его через неизвестный канал и производя измерение результирующего состояния. Максимальная вероятность того, что агент угадает правильно, определяется выражением

$p_{\text{succ}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\|p{\mathcal {E}}-(1-p){\mathcal {F}}\|_{\diamond }$

Формулировка полуопределенного программирования

Норму алмаза можно эффективно рассчитать с помощью полуопределенного программирования. Позволять $\Phi :A\to B$ будет линейным отображением, как и раньше, и $J(\Phi )\in A\otimes B$ его состояние Чой , определяемое как

$J(\Phi ):=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|\otimes \Phi (|i\rangle \langle j|)$.

Алмазная норма $\Phi$ тогда дается решением следующей задачи полуопределенного программирования:

${\begin{aligned}\min _{Y,\sigma }\quad &\operatorname {tr} (YJ(\Phi ))\\{\text{subject to}}\quad &-\sigma \otimes I\preceq Y\preceq \sigma \otimes I\\&\quad \quad \quad \operatorname {tr} (\sigma )=1\end{aligned}}$

где $Y\in A\otimes B$ и $\sigma \in A$ являются эрмитовыми матрицами.