Нерегулярность распределений

Проблема нерегулярности распределения , в первую очередь заявленную Хьюго Стейнхаусом , является численной проблемой с удивительным результатом. Проблема состоит в том, чтобы найти n чисел, $x_{1},\ldots ,x_{N}$ , все между 0 и 1, для которых следуют следующие условия:

Первые два числа должны быть в разных половинках (один меньше 1/2, один больше 1/2).
Первые 3 числа должны быть в разных третях (на один меньше 1/3, один между 1/3 и 2/3, один больше 2/3).
Первые 4 числа должны быть в разных четвертых.
Первые 5 чисел должны быть в разных пятых.
и т. д.

Математически мы ищем последовательность реальных чисел

x_{1},\ldots ,x_{N}

Таковы, что для каждого n ∈ {1, ..., n } и каждого k ∈ {1, ..., n } Есть некоторые i ∈ {1, ..., k } такова, что

{\frac {k-1}{n}}\leq x_{i}<{\frac {k}{n}}.

Решение

Удивительным результатом является то, что существует решение до n = 17, но начиная с n = 18 и выше, это невозможно. Возможное решение для n ≤ 17 показано схематически справа; численно это следующее:

{\begin{aligned}x_{1}&=0.029\\x_{2}&=0.971\\x_{3}&=0.423\\x_{4}&=0.71\\x_{5}&=0.27\\x_{6}&=0.542\\x_{7}&=0.852\\x_{8}&=0.172\\x_{9}&=0.62\\x_{10}&=0.355\\x_{11}&=0.777\\x_{12}&=0.1\\x_{13}&=0.485\\x_{14}&=0.905\\x_{15}&=0.218\\x_{16}&=0.667\\x_{17}&=0.324\end{aligned}}

В этом примере, учитывая, например, первые 5 номеров, у нас есть

0<x_{1}<{\frac {1}{5}}<x_{5}<{\frac {2}{5}}<x_{3}<{\frac {3}{5}}<x_{4}<{\frac {4}{5}}<x_{2}<1.

Mieczyslaw Warmus пришел к выводу, что 768 (1536, подсчет симметричных решений отдельно) отдельные наборы интервалов удовлетворяют условиям для n = 17.

Ссылки

H. Steinhaus, Сто задач в начальной математике , Basic Books , New York, 1964, стр. 12
Berlekamp, Er ; Грэм, Р.Л. (1970). «Неровности в распределении конечных последовательностей» . Журнал теории чисел . 2 (2): 152–161. Bibcode : 1970jnt ..... 2..152b . doi : 10.1016/0022-314x (70) 90015-6 . MR 0269605 .
M. Warmus, «Дополнительная заметка о нарушениях распределений», журнал «Теория чисел 8», 260–263, 1976.