Закон нуля-единицы Колмогорова

В вероятностей теории закон нуля-единицы Колмогорова , названный в честь Андрея Николаевича Колмогорова определенного типа , определяет, что события , а именно хвостовое событие независимых σ-алгебр , либо почти наверняка произойдет, либо почти наверняка не произойдет; то есть вероятность возникновения такого события равна нулю или единице.

Хвостовые события определяются в терминах счетных бесконечных семейств σ-алгебр. В иллюстративных целях мы представляем здесь особый случай, в котором каждая сигма-алгебра порождается случайной величиной. $X_{k}$ для $k\in \mathbb {N}$ . Позволять ${\mathcal {F}}$ — сигма-алгебра, порожденная совместно всеми $X_{k}$ . Затем хвостовое событие $F\in {\mathcal {F}}$ — это событие, которое вероятностно независимо от каждого конечного подмножества этих случайных величин. (Примечание: $F$ принадлежащий ${\mathcal {F}}$ подразумевает, что членство в $F$ однозначно определяется значениями $X_{k}$ , но последнее условие строго слабее и недостаточно для доказательства закона нуля или единицы.) Например, событие, что последовательность $X_{k}$ сходится, и событие сходимости его суммы является хвостовым событием. Если $X_{k}$ являются, например, все распределенными по Бернулли, то событие, что их бесконечно много $k\in \mathbb {N}$ такой, что $X_{k}=X_{k+1}=\dots =X_{k+100}=1$ является хвостовым событием. Если каждый $X_{k}$ моделирует результат $k$ -й бросок монеты в смоделированной бесконечной последовательности бросков монеты. Это означает, что последовательность из 100 последовательных бросков монеты, повторяющаяся бесконечное количество раз, является хвостовым событием в этой модели.

Хвостовые события — это именно те события, появление которых еще можно определить, если сколь угодно большой, но конечный начальный сегмент $X_{k}$ удаляется.

Во многих ситуациях может быть легко применить закон нуля-единицы Колмогорова, чтобы показать, что некоторое событие имеет вероятность 0 или 1, но на удивление сложно определить, какое из этих двух крайних значений является правильным.

Формулировка

Более общая формулировка закона нуля–единицы Колмогорова справедлива для последовательностей независимых σ-алгебр. Пусть (Ω, F , P ) — вероятностное пространство и F _n — последовательность σ-алгебр, содержащихся в F . Позволять

G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}

— наименьшая σ-алгебра, содержащая F _n , F _{n +1} , .... σ-алгебра F Терминальная _n определяется как ${\mathcal {T}}((F_{n})_{n\in \mathbb {N} })=\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}$ .

Закон нуля–единицы Колмогорова утверждает, что если F _n стохастически независимы, то для любого события $E\in {\mathcal {T}}((F_{n})_{n\in \mathbb {N} })$ , либо P ( E ) = 0, либо P ( E )=1.

Формулировка закона в терминах случайных величин получается из последнего, если считать каждое F _n σ-алгеброй, порожденной случайной величиной X _n . Тогда хвостовое событие по определению является событием, которое измеримо относительно σ-алгебры, порожденной всеми X _n , но которое не зависит от любого конечного числа X _n . То есть хвостовое событие — это в точности элемент терминальной σ-алгебры $\textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$ .

Примеры

Обратимое , сохраняющее меру преобразование в стандартном вероятностном пространстве , подчиняющееся закону 0–1, называется автоморфизмом Колмогорова . ^{[ нужны разъяснения ]} Все автоморфизмы Бернулли являются автоморфизмами Колмогорова, но не наоборот . Наличие бесконечного кластера в контексте теории перколяции также подчиняется закону 0-1.

Позволять $\{X_{n}\}_{n}$ — последовательность независимых случайных величин, то событие $\left\{\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\text{ exists }}\right\}$ является хвостовым событием. Таким образом, по закону Колмогорова 0-1 вероятность того, что это произойдет, равна 0 или 1. Обратите внимание, что для выполнения условия хвостового события необходима независимость. Без независимости мы можем рассмотреть последовательность, которая либо $(0,0,0,\dots )$ или $(1,1,1,\dots )$ с вероятностью ${\frac {1}{2}}$ каждый. В этом случае сумма сходится с вероятностью ${\frac {1}{2}}$ .

См. также

Ссылки

Строк, Дэниел (1999). Теория вероятностей: аналитический взгляд (переработанная ред.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-66349-6 . .
Бжезняк, Здзислав; Заставняк, Томас (2000). Основные случайные процессы . Спрингер . ISBN 3-540-76175-6 .
Розенталь, Джеффри С. (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО с. 37 . ISBN 978-981-270-371-2 .

Внешние ссылки

Наследие Андрея Николаевича Колмогорова Биография и биография. Колмогоровское училище. доктор философии ученики и потомки А. Н. Колмогорова. Работы, книги, статьи, статьи А. Н. Колмогорова. Фотографии и портреты А. Н. Колмогорова.