Родовые отношения

В математической логике родовое отношение (часто сокращается до «предковое» ) бинарного отношения R — это его транзитивное замыкание , однако определенное по-другому, см. ниже.

Родственные связи впервые появляются в Фреге » « Begriffsschrift . Позднее Фреге использовал их в своей работе «Grundgesetze» как часть своего определения конечных кардиналов . Следовательно, предки были ключевой частью его поисков логистической основы арифметики.

Определение

Пронумерованные ниже предложения взяты из его Begriffsschrift и переработаны в современных обозначениях.

Свойство x P называется R - наследственным , если всякий раз, когда есть P и выполняется y xRy, то также является P :

$(Px\land xRy)\rightarrow Py$

Индивид b называется R - предком a , пишется aR. ^* b , если b обладает всеми R -наследственными свойствами, которые есть у всех объектов x, таких, что aRx :

$\mathbf {76:} \ \vdash aR^{*}b\leftrightarrow \forall F[\forall x(aRx\to Fx)\land \forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)\to Fb]$

Родовое – это транзитивное отношение :

$\mathbf {98:} \ \vdash (aR^{*}b\land bR^{*}c)\rightarrow aR^{*}c$

Пусть обозначение I ( R ) обозначает, что ( Фреге R функционально называет такие отношения «многие-один»):

$\mathbf {115:} \ \vdash I(R)\leftrightarrow \forall x\forall y\forall z[(xRy\land xRz)\rightarrow y=z]$

Если R функционален . , то предком R является то, что сейчас называется связным :

$\mathbf {133:} \ \vdash (I(R)\land aR^{*}b\land aR^{*}c)\rightarrow (bR^{*}c\lor b=c\lor cR^{*}b)$

Связь с транзитивным замыканием

Родовые отношения $R^{*}$ равно транзитивному замыканию $R^{+}$ из $R$. Действительно, $R^{*}$ транзитивен (см. 98 выше), $R^{*}$ содержит $R$ (действительно, если aRb , то, конечно, b обладает всеми R -наследственными свойствами, которыми обладают все объекты x, такие, что aRx , поскольку b является одним из них), и, наконец, $R^{*}$ содержится в $R^{+}$ (действительно, предположим $aR^{*}b$; забрать собственность $Fx$ быть $aR^{+}x$; затем два помещения, $\forall x(aRx\to Fx)$ и $\forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)$, очевидно, удовлетворены; поэтому, $Fb$, что означает $aR^{+}b$, по нашему выбору $F$). См. также книгу Булоса ниже, стр. 8.

Обсуждение

В Principia Mathematica неоднократно использовались предки, как и в Куайна (1951) «Математической логике» .

Однако стоит отметить, что родовое отношение не может быть определено в логике первого порядка . Спорно, является ли логика второго порядка со стандартной семантикой вообще «логикой». Куайн, как известно, утверждал, что это на самом деле «теория множеств в овечьей шкуре». В своих книгах, излагающих формальные системы, связанные с ПМ и способные моделировать значительные разделы математики, а именно - и в порядке публикации - "Система логистики", "Математическая логика" и "Теория множеств и ее логика", окончательная точка зрения Куайна Что касается правильного разделения между логическими и экстралогическими системами, то, по-видимому, заключается в том, что как только к системе добавляются аксиомы, допускающие возникновение феномена неполноты, система перестает быть чисто логической.

См. также

• Концептуальное письмо
• Слава Богу, Фреге
• Транзитивное замыкание

Ссылки

• Джордж Булос , 1998. Логика, логика и логика . Гарвардский университет. Нажимать.
• Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней . Принстонский университет. Нажимать.
• Уиллард Ван Орман Куайн , 1951 (1940). Математическая логика . Гарвардский университет. Нажимать. ISBN   0-674-55451-5 .

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : « Логика, теорема и основы арифметики Фреге » — Эдвард Н. Залта . Раздел 4.2.