Модель динамических ненаблюдаемых эффектов

Модель динамических ненаблюдаемых эффектов — это статистическая модель, используемая в эконометрике для панельного анализа . Он характеризуется влиянием предыдущих значений зависимой переменной на ее текущее значение, а также наличием ненаблюдаемых объясняющих переменных .

Термин «динамический» здесь означает зависимость зависимой переменной от ее прошлой истории; обычно это используется для моделирования «государственной зависимости» в экономике. Например, человеку, который не сможет найти работу в этом году, будет труднее найти работу в следующем году, поскольку ее нынешнее отсутствие работы будет негативным сигналом для потенциальных работодателей. «Ненаблюдаемые эффекты» означают, что одна или некоторые объясняющие переменные ненаблюдаемы: например, потребительский выбор одного вкуса мороженого по сравнению с другим является функцией личных предпочтений, но предпочтение ненаблюдаемо.

Непрерывная зависимая переменная

Дополнительная информация: Панельный анализ § Динамические панельные модели и оценщик Арельяно – Бонда.

Цензурированная зависимая переменная

данных В тобитной модели панельных если результат $Y_{i,t}$ частично зависит от предыдущей истории исходов $Y_{i,0},\ldots ,Y_{t-1}$ эта тобитная модель называется «динамической». Например, если взять человека, который в этом году найдет работу с высокой зарплатой, то ему будет легче найти работу с высокой зарплатой в следующем году, потому что тот факт, что у нее есть высокооплачиваемая работа в этом году, будет очень положительный сигнал для потенциальных работодателей. Сущность этого типа динамического эффекта заключается в зависимости результата от состояния. «Ненаблюдаемые эффекты» здесь относятся к фактору, который частично определяет исход человека, но не может наблюдаться в данных. Например, способности человека очень важны при поиске работы, но они не заметны исследователям. Типичную динамическую модель тобита с ненаблюдаемыми эффектами можно представить как

$Y_{i,t}=Y_{i,t}^{1}[Y_{i,t}>0];$

$Y_{i,t}=z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i}+u_{i,t};$

$c_{i}\mid y_{i,0},\ldots ,y_{i,t-1}\sim F(y_{i,0}x_{i});$

$u_{i,t}\mid z_{i,t},y_{i,0},\ldots ,y_{i,t-1}\sim N(0,1).$

В этой конкретной модели $\rho y_{i,t-1}$ это часть динамического эффекта и $c_{i}$ — это часть ненаблюдаемого эффекта, распределение которой определяется исходным результатом индивидуума i и некоторыми экзогенными особенностями индивидуума i.

На основании этой установки функция правдоподобия, обусловленная $\{y_{i,0}\}_{i-1}^{N}$ может быть дано как

$\prod _{i=1}^{N}\int f_{\theta }(c_{i}\mid y_{i,0},x_{i})\left[\prod _{t=1}^{T}{\Bigl (}1[y_{i,t}=0][1-\Phi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}>0]{\frac {\varphi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}{\Phi (z_{i,t}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})}}{\biggr )}\right]\,dc_{i}$

Для начальных значений $\{y_{i,0}\}_{i-1}^{N}$, существует два разных способа обращения с ними при построении функции правдоподобия: считать их постоянными или наложить на них распределение и вычислить безусловную функцию правдоподобия. Но какой бы способ обработки начальных значений функции правдоподобия ни был выбран, мы не можем избавиться от интегрирования внутри функции правдоподобия при оценке модели методом оценки максимального правдоподобия (MLE). Алгоритм максимума ожидания (EM) обычно является хорошим решением этой проблемы вычислений. На основе последовательных точечных оценок MLE, средний частичный эффект (APE) можно рассчитать соответствующим образом.

Бинарная зависимая переменная

Формулировка

​​типичная модель динамических ненаблюдаемых эффектов с бинарной зависимой переменной. Представлена как:

$P(y_{it}=1\mid y_{i,t-1},\dots ,y_{i,0},z_{i},c_{i})=G(z_{it}\delta +\rho y_{i,t-1}+c_{i})$

где c _i — ненаблюдаемая объясняющая переменная, z _— объясняющие переменные, которые являются экзогенными условиями для c _i , а G(∙) — кумулятивная функция распределения .

Оценки параметров

В этом типе модели экономисты проявляют особый интерес к ρ, который используется для характеристики зависимости от государства. Например, y _i,t может быть выбором женщины, работать или нет, z _он включает возраст i -го человека, уровень образования, количество детей и другие факторы. c _i может быть какой-то индивидуальной специфической характеристикой, которую экономисты не могут наблюдать. Разумно предположить, что выбор труда в период t должен зависеть от его или ее выбора в период t − 1 из-за формирования привычки или по другим причинам. Эта зависимость характеризуется параметром ρ .

Существует несколько подходов на основе MLE для последовательной оценки δ и ρ . Самый простой способ — считать y _i,0 нестохастическим и предположить, что c _i не зависит от z _i . Затем, интегрируя P(y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 | y _i,0 , z _i , c _i ) против плотности c _i , мы можем получить условную плотность P( y _i,t , y _i,t-1 , ... , y _i,1 |y _i,0 , z _i ). Целевую функцию для условного MLE можно представить в виде: $\sum _{i=1}^{N}$log (P (y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 | y _i,0 , z _i )).

Рассмотрение y _i,0 как нестохастического неявно предполагает независимость y _i,0 от z _i . Но в действительности в большинстве случаев y _i,0 зависит от c _i и c _i также зависит от z _i . Усовершенствование описанного выше подхода состоит в том, чтобы предположить плотность y _i,0 при условии ( c _i , z _i ) и условной вероятности P(y _i,t , y _i,t-1 , … , y _t,1 ,y _i,0 | c _i , z _i ) можно получить. Интегрируя эту вероятность с плотностью ci _, обусловленной z _i , мы можем получить условную плотность P(y _i,t , y _i,t-1 , …, y _i,1 , y _i,0 | z _i ) . Целевая функция для условного MLE является $\sum _{i=1}^{N}$log (P (y _i,t , y _i,t-1 , … , y _i,1 | y _i,0 , z _i )).

На основе оценок ( δ, ρ ) и соответствующей дисперсии можно проверить значения коэффициентов. и можно рассчитать средний частичный эффект.