Теорема Партасарати

В математике – и в частности при изучении игр на единичном квадрате – теорема Партасарати является обобщением теоремы фон Неймана о минимаксе . В нем говорится, что тот или иной класс игр имеет смешанную ценность при условии, что хотя бы один из игроков имеет стратегию , ограниченную абсолютно непрерывными распределениями относительно меры Лебега (иными словами, одному из игроков запрещается использовать чистая стратегия ).

Теорема приписывается индийскому математику Тирувенкатачари Партасарати .

Теорема

Позволять $X$ и $Y$ обозначают единичный интервал $[0,1]$; ${\mathcal {M}}_{X}$ обозначим множество вероятностных распределений на $X$ (с ${\mathcal {M}}_{Y}$ определяется аналогично); и $A_{X}$ обозначим множество абсолютно непрерывных распределений на $X$ (с $A_{Y}$ определяется аналогично).

Предположим, что $k(x,y)$ ограничен единичным квадратом $X\times Y=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}$ и это $k(x,y)$ непрерывен , за исключением, возможно, конечного числа кривых вида $y=\phi _{k}(x)$ (с $k=1,2,\ldots ,n$) где $\phi _{k}(x)$ являются непрерывными функциями. Для $\mu \in M_{X},\lambda \in M_{Y}$, определять

$k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,d\mu (x)\,d\lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,d\lambda (y)\,d\mu (x).$

Затем

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _{\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).$

Это эквивалентно утверждению, что игра, индуцированная $k(\cdot ,\cdot )$ имеет ценность. Обратите внимание, что один игрок ( WLOG $Y$) запрещено использовать чистую стратегию.

Партасарати демонстрирует игру, в которой

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )$

что, таким образом, не имеет никакой ценности. Противоречия нет, поскольку в этом случае ни один из игроков не ограничен абсолютно непрерывными распределениями (а демонстрация того, что игра не имеет ценности, требует от обоих игроков использования чистых стратегий).

Ссылки

• Т. Партасарати 1970. Об играх на единичном квадрате , СИАМ , том 19, номер 2.