Теорема Партасарати
Эта статья в значительной степени или полностью опирается на один источник . ( февраль 2016 г. ) |
В математике – и в частности при изучении игр на единичном квадрате – теорема Партасарати является обобщением теоремы фон Неймана о минимаксе . В нем говорится, что тот или иной класс игр имеет смешанную ценность при условии, что хотя бы один из игроков имеет стратегию , ограниченную абсолютно непрерывными распределениями относительно меры Лебега (иными словами, одному из игроков запрещается использовать чистая стратегия ).
Теорема приписывается индийскому математику Тирувенкатачари Партасарати .
Теорема
[ редактировать ]Позволять и обозначают единичный интервал ; обозначим множество вероятностных распределений на (с определяется аналогично); и обозначим множество абсолютно непрерывных распределений на (с определяется аналогично).
Предположим, что ограничен единичным квадратом и это непрерывен , за исключением, возможно, конечного числа кривых вида (с ) где являются непрерывными функциями. Для , определять
Затем
Это эквивалентно утверждению, что игра, индуцированная имеет ценность. Обратите внимание, что один игрок ( WLOG ) запрещено использовать чистую стратегию.
Партасарати демонстрирует игру, в которой
что, таким образом, не имеет никакой ценности. Противоречия нет, поскольку в этом случае ни один из игроков не ограничен абсолютно непрерывными распределениями (а демонстрация того, что игра не имеет ценности, требует от обоих игроков использования чистых стратегий).
Ссылки
[ редактировать ]- Т. Партасарати 1970. Об играх на единичном квадрате , СИАМ , том 19, номер 2.