Компактная разностная схема высшего порядка

Трафарет HOC из девяти точек

Компактные конечно-разностные схемы высокого порядка используются для решения дифференциальных уравнений третьего порядка , возникающих при исследовании краевых задач с препятствиями . Они доказали свою высокую точность и эффективность. Они построены путем модификации схемы второго порядка, разработанной Нуром и Аль-Саидом в 2002 году. Скорость сходимости компактной схемы высокого порядка - третьего порядка, схемы второго порядка - четвертого порядка.

Дифференциальные уравнения являются важным инструментом математического моделирования . Большинство физических систем описываются с помощью математических моделей, включающих конвективный и диффузионный перенос некоторых переменных. Методы конечных разностей являются одними из самых популярных методов, которые чаще всего применяются при решении таких дифференциальных уравнений. Схема конечных разностей компактна в том смысле, что дискретная формула содержит не более девяти точечных шаблонов , включающих узел в середине, относительно которого берутся разности. Кроме того, более высокий порядок точности (более двух) оправдывает термин «компактная конечно-разностная схема высшего порядка» (HOC). Этого можно добиться несколькими способами. Рассматриваемая здесь компактная схема высшего порядка заключается в использовании исходного дифференциального уравнения для замены главных членов ошибки усечения в уравнении конечных разностей. В целом схема оказалась надежной, эффективной и точной для большинства приложений вычислительной гидродинамики (CFD), обсуждаемых здесь далее.

Простейшей задачей проверки численных алгоритмов является задача полости с приводом от крышки. Результаты вычислений в виде таблиц, графиков и рисунков для жидкости с числом Прандтля = 0,71 и числом Рэлея (Ra) в диапазоне от 10. ³ до 10 ⁷ имеются в литературе. Эффективность схемы доказана, когда она очень четко улавливает вторичные и третичные вихри по бокам каверны при высоких значениях Ra.

Еще одной важной вехой стала разработка этих схем для решения двумерных уравнений стационарной/нестационарной конвекции-диффузии. Проведено комплексное исследование обтекания импульсно запущенного кругового цилиндра. Проблема обтекания круглого цилиндра продолжает вызывать огромный интерес. среди исследователей, работающих в области CFD, главным образом потому, что он отображает почти все гидромеханические явления для несжимаемых вязких потоков в простейших геометрических условиях. Он смог более точно проанализировать и визуализировать схемы течения для числа Рейнольдса (Re) в диапазоне от 10 до 9500 по сравнению с существующими численными результатами. После этого последовало его распространение на вращающийся аналог поверхности цилиндра для Re в пределах от 200 до 1000. Более сложное явление, заключающееся в том, что круглый цилиндр совершает вращательные колебания при перемещении в жидкости, изучается при Re до 500.

Еще одной вехой в истории является ее распространение на явления многофазного потока. Природные процессы, такие как образование пузырьков газа в нефти, таяние льда, влажный пар, наблюдаются в природе повсеместно. Подобные процессы также играют важную роль при практическом применении в области биологии, медицины, реабилитации окружающей среды . Схема была последовательно реализована для решения одномерных и двумерных эллиптических и параболических уравнений с разрывными коэффициентами и сингулярными исходными членами. Проблемы такого типа имеют важное значение в числовом отношении, поскольку обычно приводят к негладким или прерывистым решениям на всех интерфейсах. В настоящее время продолжается расширение этой идеи от фиксированных к подвижным интерфейсам как с регулярной, так и с неправильной геометрией.